78. Знак собственных значений.
При исследовании знаков собственных значений мы будем предполагать, для простоты дальнейших формул, что 
Все рассуждения легко распространяются и на общий случай. Прежде всего дадим формулу, выражающую собственные значения через соответствующие собственные функции. Пусть, как и выше, 
— собственные значения и 
— собственные функции, образующие ортогональную и нормированную систему. Мы имеем
Умножая обе части на 
интегрируя - и принимая во внимание нормированность собственных функций, получим
откуда, интегрируя первое слагаемое по частям, придем к еле дующей формуле:
Предположим, что внеинтегральный член этой формулы обращается в нуль. Это будет иметь место, например, в том случае, когда предельные условия будут: 
При этом формула (21) перепишется в виде
Допустим, что 
. Если, кроме того, мы предположим, что и 
в промежутке 
, то из написанной формулы будет непосредственно следовать положительность всех собственных значений. Положим теперь, что 
произвольная непрерывная функция, и пусть 
ее наименьшее значение в
промежутке, т. е. 
. Из предыдущей формулы непосредственно вытекает
Таким образом, в рассматриваемом случае может быть только конечное число отрицательных собственных значений. Положим теперь, что предельные условия имеют вид
где 
положительные постоянные. Внеинтегральный член формулы (21) при этом окажется положительным, и мы, как и выше, убедимся, что при предельных условиях (23) и 
все собственные значения положительны.
Если все собственные значения положительны или если имеется только конечное число отрицательных собственных значений, то будет справедлива теорема Мерсера, и мы можем написать разложение ядра в абсолютно и равномерно сходящийся ряд:
Это равенство дает нам простую возможность распространить доказанную в [77] теорему разложения по собственным функциям на более общий класс функций, а именно — положим, что 
непрерывна, имеет непрерывную производную во всем промежутке, кроме одной точки 
в которой она имеет разрыв первого рода:
и существует кусочно-непрерывная производная второго порядка. Кроме того, как всегда, предполагаем, что 
удовлетворяет предельным условиям. Составим разность
которая имеет непрерывную производную во всем промежутке без исключения. Для этой разности справедлива теорема разложения по собственным функциям. С другой стороны, в силу (24), вычитаемое 
может быть разложено по собственным функциям, а следовательно, и первоначальная функция 
разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям. Приведенные рассуждения имеют, конечно, место и в том случае, когда производная 
имеет конечное число разрывов первого рода в промежутке 
. Они
сходны с теми, которые мы применяли раньше при улучшении сходимости рядов Фурье [II; 171].
