Главная > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

163. Метод Фурье для параболических уравнений.

Установим однозначную разрешимость первой начально-краевой задачи для параболических уравнений вида

Граничное условие будем считать однородным:

а начальное условие

определяемым функцией Пусть относительно коэф. фидиентов оператора М и области В выполнены условия

теоремы 2 [148]. В силу теоремы 1 из [150] спектральная задача

где — граница области В, имеет вещественный спектр который можно считать занумерованным в порядке убывания значений , причем при . Предположим, ради несущественных упрощений в записи, что Тогда все Я отрицательны. Будем считать также, что система всех собственных функций ортонормирована в т. е.

причем соответствует значению . В [150] доказано, что все принадлежат пространству и образуют базис в пространствах Кроме того, там же доказано, что в пространствах можно ввести новые скалярные произведения

и

соответственно, которым отвечают нормы эквивалентные исходным нормам пространств . В этих новых скалярных произведениях система собственных функций ортогональна, причем

а

Функции при любых числах являются решениями уравнения (126), удовлетворяющими краевому условию (127). Они и все их производные по t принадлежат при всех пространству . Уравнению (126) они удовлетворяют при всех для почти всех из В. Будем решение и задачи (126) — (128) искать в виде ряда

Формально, подставляя этот ряд в (128) и используя соотношения (130), мы найдем выражения для :

Наша дальнейшая цель состоит в том, чтобы исследовать характер сходимости ряда

и убедиться, что он дает обобщенное решение задачи (126) — (128) из такого класса, в котором есть теорема единственности. Во-первых, легко видеть, что ряд (133) сходится в равномерно относительно . Действительно, при любых тира

причем числовой ряд сходится и его сумма равна Следовательно, сумма и ряда (133) при любом есть элемент непрерывно зависящий от в норме Последнее означает, что При ряд (133) сходится к в норме и потому при Покажем, что при ряд (133) сходится в норме пространства равномерно относительно где — любое положительное число. Действительно, в силу (132)

Но при функции при всех к не превосходят некоторого числа зависящего лишь от . Поэтому при

Но это и доказывает желаемую сходимость ряда (133) Из нее следует, что сумма и ряда (133) есть элемент непрерывно зависящий от t в норме этого пространства при .

Почленное дифференцирование ряда (133) по t дает ряд

который сходится в норме и даже в норме равномерно по t при где — произвольное положительное число. Доказывается это так же, как и выше, с учетом того, что функции полупрямой не превосходят некоторого числа , зависящего лишь от . Такая сходимость ряда (134) гарантирует принадлежность его суммы к при всех и то, что эта сумма есть обобщенная производная по t суммы ряда (133) в областях Из всего сказанного следует, что сумма ряда (133) есть обобщенное решение задачи (126) — (128) в области из класса элементы которого обладают следующими свойствами: они суть элементы непрерывно зависящие от в норме они имеют обобщенную производную причем являются элементами непрерывно зависящими от . Сумма ряда (133) при любом и почти всех из В удовлетворяет уравнению (126). Граничному условию (127) она удовлетворяет в том смысле, что при является элементом . Начальное же условие выполняется «в среднем»:

Покажем, что в таком классе задача (126) — (128) не может иметь двух разных решений. Одно из них, определенное формулой (133), мы уже нашли. Пусть есть другое обобщенное решение задачи (126) — (128) из класса . Тогда их разность есть обобщенное решение из того же класса однородной задачи т. е. задачи

В области это решение обладает той гладкостью, которая требовалась при выводе энергетического неравенства (124), следовательно, для него справедливы оценки

при любом . Устремляя в этом неравенстве к нулю и используя то, что при убедимся, что . Теорема единственности доказана.

Если на наложить дополнительные условия, то ряд (133) будет сходиться лучше, и его сумма будет обладать лучшими дифференциальными свойствами. Например, если

, то ряд (133) сходится в норме равномерно относительно и его сумма, тем самым, будет элементом непрерывно зависящим от t в норме при всех .

Действительно, благодаря (131) и (129)

и

т. е. ряд (133) сходится в норме равномерно относительно Покажем, что при ряды, полученные двукратным почленным дифференцированием ряда (133) по , сходятся в норме где любое конечное число. Это так, ибо

при . Это же неравенство гарантирует и сходимость ряда (134) в Наконец, из того факта, что система образует базис в пространстве следует, что при ряд (133) сходится в норме равномерно от носительно и его сумма есть элемент непрерывно зависящий от в норме . Ряд (134) при этом будет сходиться в норме равномерно относительно и его сумма будет элементом непрерывно зависящим от в норме

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнения (126) и область В удовлетворяют условиям теоремы . Тогда решение задачи (126) — (128) дается рядом

(133), который сходится в равномерно относительно при он сходится в норме равномерно относительно , где — произвольное положительное число. Ряд, полученный почленным дифференцированием ряда (133) по t, сходится в при равномерно относительно . Сумма ряда (133) есть обобщенное решение задачи из класса любым , причем в этом классе имеет место теорема единственности. Если то ряд (133) сходится равномерно по , а ряды, полученные его почленным дифференцированием один раз по t или два раза по сходятся в норме . Наконец, при сходится в норме а ряд (134) в норме равномерно относительно .

Рассмотрим еще задачу

где L — то же, что и в . Ей формально удовлетворяет сумма ряда

где Покажем, что ряд (138) и ряды, в полученные его почленным дифференцированием по один и два раза сходятся в норме так что сумма ряда и ее производные будут элементами . Для этого достаточно убедиться, что

стремится к нулю при . Это верно, ибо благодаря (132)

а для функций из верны равенства

Из этой оценки следует также, что ряд, полученный почленным дифференцированием ряда (133) по t, сходится в Так как конечные суммы

удовлетворяют (при почти всех из ) уравнению сходится к в норме то сумма ряда (138) будет при почти всех из удовлетворять уравнению (137). Чтобы проверить выполнение начального и граничного условия из (137), убедимся, что ряд (138) сходится в норме при любом Действительно, используя те же соображения, что и при оценке , получим

Отсюда ясно, что при любом сумма есть элемент

Тем самым мы доказали теорему:

Теорема 2. Если относительно L и В выполнены предположения теоремы , то решение задачи (137) в дается рядом (138). Этот ряд и ряды, полученные его почленным дифференцированием один раз по t и и два раза по сходятся в норме . Сумма ряда (138) при почти всех удовлетворяет уравнению (137), при любом она есть элемент и при

Заметим, что решения второй и третьей начально-краевых задач для уравнения определяются рядами вида (133) и (138), только в качестве в них надо брать собственные функции L, отвечающие соответствующему краевому условию.

1
Оглавление
email@scask.ru