37. Основные теоремы.

Характеристическое многообразие совершенно так же, как и в случае уравнения первого порядка, играет основную роль при интегрировании уравнения. Мы имеем здесь основные теоремы, аналогичные тем, которые имели место и для уравнений первого порядка.

Положим, что две интегральные поверхности уравнения (28) имеют вдоль некоторой линии пространства (х, у, u) касание конечного порядка, т. е. вдоль этой линии интегральные поверхности имеют общую касательную плоскость, но некоторые производные выше первого порядка оказываются для этих интегральных поверхностей на этой линии различными. Нетрудно видеть, что эта линия вместе с касательной плоскостью вдоль нее должна представлять собою характеристическую полосу. Действительно, если бы это было не так, то из рассуждений [35] следует, что мы получили бы вдоль l совершенно определенные значения для производных всех порядков. Таким образом, мы имеем следующую теорему:

Теорема 1. Если две интегральные поверхности имеют вдоль линии l касание конечного порядка, то эта линия вместе с соответствующей касательной плоскостью представляет собою характеристическую полосу.

Основным свойством характеристической полосы является тот факт, что вдоль этой полосы уравнение приводит к неопределенной системе (30) при разыскании производных второго порядка. Это свойство не зависит, конечно, от выбора независимых, переменных, и мы получаем, таким образом, следующую теорему:

Теорема 2. При любой обратимой и гладкой замене переменных х, у характеристические полосы переходят в характеристические полосы.

Пусть имеется Некоторая интегральная поверхность S уравнения (28). На этой поверхности суть определенные функции независимых переменных Подставляя в коэффициенты уравнения (28) вместо и, их выражение через мы получим для этих коэффициентов определенные выражения через и уравнение (32) будет представлять собою дифференциальное уравнение первого порядка, определяющее две системы линий на поверхности S. Вдоль каждой из этих линий будут выполнены уравнение (23) и уравнение (32), и нетрудно видеть, что вдоль такой линии должно быть выполнено и второе из уравнений (34). Действительно, если бы оно не было выполнено, то мы имели бы несовместную систему для определения производных второго порядка, а это противоречит тому факту, что полоса, определенная линией l и касательной плоскостью интегральной поверхности S, находится на интегральной поверхности

S. Мы получили, таким образом, следующую, третью, теорему:

Теорема 3. Всякую интегральную поверхность можно покрыть семейством характеристических полос.

Отметим, что этот результат, если оставаться в вещественной области, имеет место только в гиперболическом или параболическом случаях, причем в гиперболическом случае мы можем покрыть интегральную поверхность двумя семействами характеристических полос.

Докажем теперь обратную теорему, а именно следующую, четвертую, теорему:

Теорема 4. Если некоторое семейство характеристических полос образует поверхность где имеет непрерывные производные до второго порядка, то эта по верхность есть интегральная поверхность уравнения (28).

Пусть имеется поверхность S, покрытая семейством полос, вдоль которых выполнены уравнения (34). Вдоль каждой из этих полос мы имеем

Подставляя эти выражения во второе из уравнений мы придем к следующим двум уравнениям:

Умножая второе на s и вычитая из первого, мы и придем к основному уравнению (28), причем надо принять во внимание, что произведение отлично от нуля, так как х и у — независимые переменные.

В случае уравнения первого порядка мы имели для характеристических полос обычную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, и, благодаря этому, задача интегрирования уравнения с частными производными первого порядка привелась к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящем случае система (34) представляет собою систему трех уравнений (в полных дифференциалах) для пяти искомых функций. В работе Леви (Math. Ann., 1927, 97) показано, каким образом можно систему (34) расширить так, чтобы получилась система пяти дифференциальных уравнений первого порядка с пятью неизвестными функциями — система, имеющая специальную форму. Для этой системы строится определенным образом решение задачи Коши, что приводит к решению задачи Коши и для уравнения (28).

В следующем параграфе мы разберем частные случаи, когда система (34) имеет интеграл.