42. Связь с вариационной задачей.

Пусть А — таблица коэффициентов Решая систему (64) относительно мы получим где, как всегда, матрица, обратная матрице А. Подставляя полученные выражения в левую часть уравнения (63), мы преобразуем квадратичную форму от в квадратичную форму от т. е. будем иметь

причем таблица В коэффициентов получается из таблицы А по формуле [III; 32]

или, принимая во внимание, что А симметрична, получим .

Введем в пространстве метрику, определяемую равенством

Интеграл

взятый вдоль любой бихарактеристики, входящей в состав некоторой характеристической гиперповерхности (61), равен, в силу (65), разности значений t, соответствующих концам пути

интегрирования, т. е. длина любой дуги упомянутой бихарактеристики, при наличии метрики (66), определяется разностью значений времени, соответствующих концам дуги.

Сравнивая предыдущие результаты с результатами из мы видим, что уравнение (63) есть уравнение основной функции поля для интеграла (66). Таким образом, семейство гиперповерхностей представляет семейство трансверсальных поверхностей некоторого поля вариационной задачи для интеграла (66). Далее, нетрудно проверить, что бихарактеристики, соответствующие взятому семейству характеристических поверхностей и определяемые уравнениями (64), будут экстремалями поля. Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, пользуясь уравнением (64), тот факт, что бихарактеристики пересекаются трансверсально с гиперповерхностями .

Действительно, условие трансверсальности в данном случае сводится к пропорциональности производных от подынтегральной функции интеграла (66) по т. е. к пропорциональности решая уравнения (64) относительно мы получим

что и доказывает наше утверждение о трансверсальности пересечения семейства характеристических гиперповерхностей с соответствующими бихарактеристиками.

Отметим, что случаю характеристического коноида соответствуют квазисферы в пространстве с центром соответствующим вершине коноида, и радиусом

Если уравнению (60) соответствует волновой процесс в пространстве то уравнение первого порядка (63) определяет геометрическую оптику этого процесса при помощи характеристических поверхностей, и бихарактеристики суть лучи, определяющие эту же геометрическую оптику. Указанные выше соображения приводят геометрическую оптику в непосредственную связь с некоторой вариационной задачей. Если нам задан фронт волны при то для того, чтобы получить фронт волны в любой момент времени мы должны построить семейство квазисфер с центрами на и радиусом t и взять огибающую этого семейства (построение Гюйгенса). Это построение соответствует тому, что мы говорили в [11] относительно решения задачи Коши для уравнений первого порядка при помощи характеристических коноидов этого уравнения. Мы не останавливаемся на доказательстве указанного построения. Оно может

быть проведено на основе теории полного интеграла. Заметим что огибающая квазисфер радиуса t может состоять из двух гиперповерхностей. Только одна из них будет давать фронт волны в момент времени

Все предыдущие рассуждения можно провести не в пространстве а в пространстве включая t в число координат пространства. Для большей симметрии рассмотрим общий случай уравнения (48):

где заданные функции Характеристические поверхности будут определяться уравнением

где через мы обозначили левую часть уравнения. Соответствующая этому уравнению система Коши, т. е. система обыкновенных уравнений, определяющая бихарактеристики, дается уравнениями и . Заменяя вспомогательный параметр s на можем написать эту систему в виде

Первые уравнения этой системы имеют вид

Решая эти уравнения относительно р, и подставляя в уравнение (68), получим

где таблица В коэффициентов выражается формулой

Введем в пространстве метрику

Существенным отличием от предыдущего будет тот факт, что для уравнения гиперболического типа правая часть написанной формулы может принимать как положительные, так и отрицательные значения (знакопеременная квадратичная форма , и, следовательно, может оказаться мнимой величиной.

Из (70) следует, что для бихарактеристик характерным является соотношение т. е., при принятой метрике, длина любого отрезка бихарактеристики равна нулю. При этом надо помнить невещественный характер введенной метрики.