18. Системы двух уравнений первого порядка.

Мы привели ряд примеров, когда полный интеграл может быть найден при помощи совершенно элементарных приемов. Возникает вопрос о возможности построения общего метода разыскания полного интеграла для любого уравнения первого порядка. Для изложения такого метода нам необходимо предварительно рассмотреть задачу о нахождении решения двух уравнений первого порядка с одной искомой функцией:

Будем считать, что эти уравнения разрешены относительно и q так, что мы имеем уравнения следующего вида:

Мы будем называть написанную систему вполне интегрируемой, если она имеет решение, зависящее от произвольной постоянной. Выясним необходимое и достаточное условие, при котором это обстоятельство имеет место, и дадим прием нахождения решения, если вышеупомянутое условие выполнено. Дифференцируя первое из уравнений (148) по а второе по х, мы получим, очевидно,

или, в силу (148),

Если написанное соотношение между переменными (х, у, u) не выполнено тождественно, то оно определяет и как функцию от х и у, и только эта функция, не содержащая произвольной постоянной, и может быть решением системы (148). Таким образом, тождественное выполнение соотношения (149) является необходимым условиемдля того, чтобы система (148) была вполне интегрируемой. Покажем, что оно и достаточно, и одновременно дадим способ нахождения решений системы (148). Мы можем

рассматривать первое из уравнений (148), как уравнение с одним независимым переменным поскольку у входит в это уравнение как параметр. Интегрируя это уравнение первого порядка, мы получим и, как функцию независимого переменного х, параметра у и произвольной постоянной которую мы можем считать функцией от у:

Эта функция должна удовлетворять и второму из уравнений (148), т. е. должно быть выполнено уравнение

или

причем в правой части и надо заменить его выражением (150). Покажем теперь, что если тождественно выполнено соотношение (149), то правая часть (151) не содержит . Действительно, приравнивая нулю производную от правой части уравнения (151) по мы получим

Но, поскольку функция (150) удовлетворяет первому из уравнений (148), мы имеем следующие очевидные соотношения:

и с помощью этих соотношений условие (152) может быть записано в виде

и оно, очевидно, выполнено, поскольку мы считаем соотношение (149) выполненным тождественно. Таким образом, при этом уравнение (151) представляет собою уравнение первого порядка относительно , интегрируя которое, мы получим выражение С через у и произвольную постоянную b. Подставляя это выражение в формулу (150), будем иметь решение системы (148), содержащее одну произвольную постоянную. Таким образом, необходимым и достаточным условием полной интегрируемости системы (148) является тождественное выполнение соотношений (149). Если это условие выполнено, то интегрирование системы (148) приводится к интегрированию двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, и общее решение системы (148) содержит одну произвольную постоянную.

В непосредственной связи с решенной задачей стоит задача интегрирования уравнения в полных дифференциалах:

где Р, Q и R — заданные функции . Это уравнение непосредственно приводится к системе (148), если положить

и условие интегрируемости (149) приводит в данном случае к следующему соотношению между коэффициентами:

Мы уже раньше указывали на это соотношение, как необходим мое и достаточное условие полной интегрируемости уравнения (153) [II; 79].