157. Метод Фурье для уравнения теплопроводности.

Мы применяли часто раньше метод Фурье для решения предельных задач. Проведем обоснование этого метода, пользуясь теорией интегральных уравнений Рассмотрим, в случае трех независимых переменных, однородное уравнение

в области В с контуром l при следующих условиях.

Метод Фурье дает формально решение этой задачи в виде

где — собственные значения и собственные функции уравнения

при предельном условии

и коэффициенты Фурье функции :

Положим, что функция сама непрерывна, имеет в замкну той области В непрерывные производные до второго порядка и равна нулю на . При этом

и написанный ряд регулярно сходится в В, т. е. ряд

сходится равномерно в В (см. [127]),

Принимая во внимание, что при О, мы можем утверждать, что и ряд (70) сходится регулярно, если Р принадлежит Б и . Тем самым, его сумма есть непрерывная функция Р и если Р принадлежит В и . Отсюда следует:

т. е. функция определяемая формулой (70), удовлетворяет начальному условию (68). Далее, каждая из функций удовлетворяет предельному условию (69), а потому и функция и удовлетворяет этому условию при . Остается убедиться в том, что функция внутри В и при имеет непрерывную производную по t, непрерывные производные и удовлетворяет уравнению (67).

Продифференцируем ряд (70) почленно по

и пусть а — произвольно выбранное положительное число. Принимая во внимание, что при всех достаточно больших к мы имеем и равномерную сходимость ряда (74), можно утверждать, что ряд (75) сходится регулярно, если Р принадлежит В и . Совершенно аналогично доказывается, что и ряд

полученный почленным дифференцированием ряда (75) по также сходится регулярно при указанных выше условиях. Отсюда следует, что имеет непрерывные производные первого и второго порядка по t при , принадлежащем В, и для этих производных мы имеем

Аналогичное рассуждение применимо и для производных бого порядка по

Но мы имеем

где функция Грина оператора Лапласа, при предельном условии (71), и формулу можно переписать в виде

Принимая во внимание равномерную сходимость ряда . В При можем переставить сумму и интеграл и получим

и совершенно аналогично

Функция непрерывна в В при и из (77) следует, что имеет внутри В при непрерывные производные первого порядка по координатам точки Р. После этого формула (78) показывает, что имеет внутри В при непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет уравнению

что мы и хотели доказать