113. Тепловое равновесие излучающего тела.
Рассмотрим третью предельную задачу для уравнения Лапласа.
В случае установившегося потока тепла температура 
внутри тела должна удовлетворять уравнению Лапласа, а на границе S должно быть выполнено условие
где h — коэффициент внешней теплопроводности и 
— температура внешней среды, соприкасающейся с телом. Обе эти величины мы можем считать функциями точки на поверхности S, и приходим, таким образом, к задаче нахождения гармонической функции внутри поверхности S, удовлетворяющей на этой поверхности предельному условию вида:
где 
заданные на 
функции и 
Будем искать решение этой предельной задачи в виде потенциала простого слоя. Предельное условие (150) приведет к следующему интегральному уравнению для плотности:
или
Покажем, что при сделанном выше предположении однородное уравнение не может иметь решения, отличного от нулевого. Действительно, мы видели выше [104], что при 
гармоническая функция, представимая потенциалом простого слоя и тем самым имеющая правильную нормальную производную и удовлетворяющая однородному предельному условию
тождественно равна нулю внутри S. Положим, что однородное уравнение имеет решение Потенциал простого слоя с плотностью 
удовлетворяет однородному предельному условию (151) и, следовательно, равен нулю внутри S. Поскольку он равен нулю и на бесконечности, мы, как и раньше, заключаем отсюда, что он равен нулю во всем пространстве и что 
, т. е., действительно, однородное уравнение не имеет решений, а потому неоднородное уравнение разрешимо при любом выборе свободного члена 
. Предположим, что поверхность S есть сфера 
единичного радиуса и что функция 
есть положительная постоянная h. В этом случае, в силу 
мы получаем интегральное уравнение
которое мы разбирали в предыдущем параграфе. Если считать h за параметр, то собственные значения этого интегрального
уравнения определятся из уравнения 
, т. е. собственные значения будут 
, а соответствующие им собственные функции будут сферические функции. Совершенно аналогичным образом можно рассмотреть третью предельную задачу и для случая плоскости.
