61. О существовании и единственности обобщенных решений задачи Коши для волнового уравнения.

Для волнового уравнения

обобщенные решения задачи Коши при «плохих» можно получить, используя формулу Пуассона — Кирхгофа. Если, например, то возьмем их усреднения и и соответствующие им классические решения задачи Коши для оператора . При сходятся к f в нормах в нормах в нормах , где D и С — любые ограниченные области из Неравенство (202) для позволяет утверждать существование функции являющейся пределом в нормах Эта предельная функция будет обобщенным решением задачи (236), (232). Действительно, каждая из удовлетворяет тождеству (233) с и в этом тождестве можно перейти к пределу при (при фиксированной из . В результате убедимся, что и и удовлетворяет этому тождеству. Найденное нами решение обладает даже большей гладкостью, чем требовалось в определении обобщенного решения из класса Для построения решений, отвечающих менее гладким надо установить неравенства, оценивающие подходящую норму решения через нормы пространств, к которым принадлежат . Мы не будем здесь этого делать, а вместо, этого докажем теорему единственности задачи (236), (232) в классе обобщенных решений из следуя методу Гольмгрена.

Пусть — два таких решения. Тогда их разность v принадлежит и удовлетворяет тождеству

при любых . Рассмотрим полосу и задачу

считая Ее решение дается формулой Кирхгофа. Оно есть бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю при и в точках и достаточно больших . Умножая его на бесконечно дифференцируемую функцию равную 1 при и нулю при , мы получим функцию из совпадающую с при . Поэтому мы можем взять в качестве в (237) функцию w. Учитывая равенство получим

Так как это равенство справедливо при любой функции f из то в . Ввиду произвольности выбора величины Г, функция Теорема доказана.