110. Сводка результатов, касающихся решений предельных задач.

Сформулируем полученные выше результаты, относящиеся к решению задач Дирихле и Неймана, и приведем некоторые новые результаты, относящиеся к этому вопросу. Для любой функции непрерывной на S, уравнение (125) определяет непрерывную плотность так, что потенциал двойного слоя (123) дает решение внутренней задачи Дирихле при предельном условии (124). Сопряженное интегральное уравнение дает непрерывную плотность такую, что потенциал простого слоя (128) решает внешнюю задачу Неймана при предельном условии (1302). Если удовлетворяет условию (141), то уравнение (129) определяет плотность такую, что потенциал простого слоя решает внутреннюю задачу Неймана.

Сделаем важные замечания по поводу решения задач Неймана. В уравнениях (129) и (1312) интегральное слагаемое правой части удовлетворяет условию Липшица [99]. Если функция также удовлетворяет такому условию, то из упомянутых уравнений следует, что и удовлетворяет такому же условию. Но тогда из [100] следует, что при этом соответствующий потенциал простого слоя, т. е. решение задачи Неймана не только само непрерывно вплоть до S, но и имеет непрерывные вплоть до S частные производные первого порядка.

Вернемся теперь к условию (141) разрешимости внутренней задачи Неймана. Оно было нами получено в предположении, что решение имеет правильную нормальную производную. Тем самым должно быть непрерывно вплоть до S [102]. Покажем, что из одной непрерывности вплоть до S вытекает необходимость условия (141). Положим, что не удовлетворяет этому условию, но все же существует решение задачи Неймана непрерывное вплоть до S, и приведем это к противоречию.

Согласно предположению, мы имеем

и можно подобрать такуф постоянную С, отличную от нуля, что

В силу сказанного выше, мы можем построить решение внутренней задачи Неймана с предельным условием

в виде потенциала простого слоя с непрерывной плотностью, причем непрерывно вплоть до S. Разность также непрерывна вплоть до S и удовлетворяет предельному условию

Изменяя, если это надо, знак мы можем считать, что . Функция достигает на S своего наименьшего значения в некоторой точке а это находится в противоречии с тем, что при стремлении М к по нормали стремится к положительной величине С. Таким образом, необходимость условия (141) для разрешимости внутренней задачи Неймана вытекает из непрерывности искомого решения вплоть до

Выше мы указали свойства производных решения задачи Неймана при приближении к S. Аналогичное исследование решения задачи Дирихле более трудно в связи с тем, что это решение представлено в виде потенциала двойного слоя. Исследование потенциала двойного слоя было выполнено в упомянутой выше работе А. М. Ляпунова, а также в его работе «О фундаментальном принципе Неймана в задаче Дирихле» (1902).

Перечислим результаты, полученные А М. Ляпуновым в отношении потенциала двойного слоя и решения задачи Дирихле.

1. Значение в точках поверхности S потенциала двойного слоя с непрерывной плотностью представляет собою функцию, удовлетворяющую условию Липшица с любым показателем, меньшим единицы.

2. Если потенциал двойного слоя с непрерывной плотностью имеет правильную нормальную производную на S с одной стороны этой поверхности, то он имеет правильную нормальную производную и с другой стороны поверхности, и эти нормальные производные одинаковы во всех точках

Для того чтобы решение внутренней или внешней задачи Дирихле с непрерывными предельными значениями на S имело правильную нормальную производную на , необходимо и достаточно, чтобы потенциал двойного слоя с плотностью f(N) имел правильную нормальную производную на теорема доказана в предположении, что число а, входящее в условие (3), равно единице.

4. Пусть - однозначная, непрерывная с производными двух первых порядков функция, определенная в некоторой окрестности поверхности S, и пусть значение на . При этом производная по любому фиксированному направлению от функции гармонической в или и принимающей на S значения непрерывна вплоть до S. Теорема эта доказана без предположения

А. М. Ляпуновым установлено также достаточное условие для того, чтобы потенциал двойного слоя имел правильную нормальную производную. Приведем его. Пусть какая-либо точка S, которую мы берем за начало полярных координат в касательной плоскости к в точке Значения плотности в точках N, близких к можно рассматривать, проектируя N на

касательную плоскость как функцию . Обозначим

Упомянутое выше условие сводится к следующему. Существуют два положительных числа таких, что при любом выборе точки имеет место неравенство

Эта теорема доказана Ляпуновым в предположении .

Дальнейшие результаты в теории потенциала объемных масс, простого и двойного слоя и в отношении исследования решения задачи Дирихле можно найти в упомянутой выше книге Н М Гюнтера и в заметке: Смолицкий X. Л. Оценки производных фундаментальных функций. — ДАН СССР, 1950, 24, № 2.