95. Потенциал двойного слоя.

Основную роль при построении функций (1) и (2) играет сингулярное решение — уравнения Лапласа. Введем теперь другое сингулярное решение этого уравнения. Пусть N — некоторая точка пространства и фиксированное направление, проведенное из точки N. Берем в направлении отрезок NN длины и помещаем в точке N заряд , а в точке N заряд . Обозначая через расстояния от переменной точки М до точек N и N, будем иметь следующий потенциал упомянутых двух зарядов:

Введем в рассмотрение угол причем направление мы считаем от точки М к точке N.

Принимая во внимание равенство , мы можем написать:

и в пределе при иолучим потенциал диполя единичной интенсивности с направлением :

Нетрудно проверить, что мы можем написать этот потенциал как производную от — по направлению l, причем дифференци рование совершается по точке М:

Действительно, обозначая через координаты точки N и через — координаты точки М, мы получим

откуда, принимая во внимание формулу

мы и придем к формуле (18). Функция (18) удовлетворяет оче видно уравнению Лапласа и имеет особенность в точке кроем поверхность S диполями так, чтобы в каждой точке по верхности направление диполя совпадало с направлением внешней нормали к поверхности, и пусть интенсивность диполя, помещенного в точке N поверхности. Мы придем таким образом к понятию потенциала двойного слоя, который будет определяться равенством (рис. 5);

Рис. 5.

Функция (19) имеет везде вне S производные всех порядков и удовлетворяет уравнению Лапласа. Ее можно при этом дифференцировать по координатам точки М под знаком интеграла. Если точка М совпадает с некоторой точкой лежащей на поверхности, то обращается в нуль при совпадении N с и интеграл (19) есть в этом случае несобственный интеграл. Покажем, что он имеет смысл.

Достаточно исследовать подынтегральную функцию на участке поверхности вблизи точки . При этом мы. можем

воспользоваться уравнением поверхности (4) в местных осях для точки

Найдем выражение для , где есть направление

где - координаты точки N и . Принимая во внимание полученные выше оценки (15), а также очевидные неравенства: получим

т. е.

где b — постоянная. Кроме того, для непрерывной функции имеем оценку

где постоянная при изменении N на S. Заменяя интеграл по интегралом по проекции поверхности сто на плоскость XY (круг с центром и радиусом , получим

причем имеется, в силу (21), (22) и (15), следующая оценка подынтегральной функции:

откуда и следует сходимость интеграла (19), если точка М лежит на поверхности S. Таким образом, функция (19) определена во всем пространстве.

Рассмотрим интеграл Принимая во внимание (18), можем написать:

причем мы считаем, что дифференцирование по направлению происходит по отношению к точке N, которая является переменной интегрирований. Ввиду этого перед интегралом мы поставили знак минус.

Положим сначала, что точка М находится вне замкнутой поверхности S. При этом — есть гармоническая функция внутри S с непрерывными производными всех порядков вплоть до , и, в силу одного из основных свойств гармонических функций, мы имеем [II; 204]:

Пусть точка М находится внутри S. Выделим ее малой сферой С с центром М и радиусом . В части пространства D между С и S функция гармоническая, и мы имеем

Нормаль, внешняя по отношению к области направлена на С к центру сферы, и, следовательно,

так что предыдущая формула перепишется в виде

откуда

Положим, наконец, что точка М совпадает с некоторой точкой лежащей на поверхности. Проведем сферу С с центром и радиусом и заменим участок поверхности S, содержащийся внутри С, частью С сферы С так, чтобы точка лежала вне полученной поверхности, которая состоит из и части С сферы С. Мы имеем

Второе слагаемое вычисляется, как и выше, и оно равно телесному углу, под которым часть сферы видна из центра

этой сферы:

Линия l пересечения сферы С с S обладает тем свойством, что для координат точек этой линии имеет место, в силу (15), неравенство и точки l при беспредельно приближаются к плоскости

Отсюда следует, что при стремлении к нулю телесный угол (25) стремится к и формула (24) в пределе дает

Мы имеем, таким образом, внутри ,

Рассмотрим еще незамкнутую поверхность и интеграл

причем мы считаем, что точка М лежит вне . Проведем конус с вершиной М и основанием и пусть часть сферы с центром М и достаточно малым радиусом , лежащая внутри упомянутого конуса.

Рис. 6

Рассмотрим в пространстве область ограниченную и боковой поверхностью Г упомянутого конуса (рис. 6). (Мы считаем, что упомянутые поверхности ограничивают некоторую область D.)

Внутри D функция — гармоническая и, следовательно,

На поверхности Г

На направление противоположно Обозначая через телесный угол, под которым видна из точки мы получим из предыдущей формулы

т. е. интеграл (27) дает телесный угол, под которым видна из точки М. При этом нормаль на направлена вовне области D. Радиус-вектор из М может пересекать в нескольких точках. Если мы имеем, например, три точки пересечения, то в двух из них и в третьей . Элемент рассматриваемого интеграла, т. е. представляет собою элементарный телесный угол под которым элемент площади поверхности виден из точки М, причем этот угол будет положительным, если и отрицательным, если . Если М лежит на то интеграл (27) надо рассматривать как несобственный, как это мы делали выше для замкнутой поверхности. Из указанных выше рассуждений могут быть также получены формулы (26).

Мы в дальнейшем будем предполагать поверхность S такой, что при любом положении точки М выполняется неравенство

где с — определенное положительное число. Положим, например, что существует такое целое положительное число что при любом положении М можно разбить S на отдельные куски, число которых не превышает так, что прямая, проходящая через пересекает каждый кусок не более чем в одной точке, причем на каждом из кусков сохраняет знак. При этом условие (28) выполнено, если взять .

Формулы (26) показывают, что при потенциал двойного слоя (19) испытывает разрыв непрерывности, когда М пересекает поверхность S. Разберем этот вопрос для произвольной непрерывной плотности.

Пусть фиксированная точка поверхности S. Составим потенциал двойного слоя:

и докажем, что он сохраняет непрерывность, когда М пересекает поверхность в точке . Пусть — заданное положительное число. Выделим такой участок о поверхности S, содержащий точку внутри себя, на котором выполняется неравенство

где с — постоянная, входящая в условие (28). Разбивая S на два куска, , можем написать:

где

При любом положении точки М мы имеем

откуда, в силу (28) и (30):

Из (31) следует:

откуда

или, в силу (33),

В потенциале двойного слоя интегрирование совершается по , а точка N о лежит внутри а, и потому функция в точке и ее некоторой окрестности непрерывна (и имеет производные всех порядков). Таким образом, при всех М, достаточно близких к мы имеем и, в силу откуда и следует, в силу произвольности , непрерывность функции определяемой

фермулой (29), в точке . Мы можем написать:

где потенциал двойного слоя (19). Положим сначала, что точка М находится на S. Обозначим ее через N. При этом, в силу (26), имеем

и

где значение интеграла (19) в точке . Будем теперь точку находящуюся на S, стремить к . В силу доказанной непрерывности

Отсюда и из формулы (36) мы видим, что имеет при этом предел т. е. функция определенная формулой (19), есть непрерывная на поверхности S функция.

Положим теперь, что точка М находится внутри S. При этом, в силу (26), имеем

Будем теперь точку находящуюся внутри S, стремить к . В силу доказанной непрерывности мы будемиметь

Обращаясь к правой части формулы (38), мы видим, что и имеет при этом предел. Обозначим этот предел через . Из (38) и (39) следует:

т. е.

Отсюда видно, что предел и значение функции в точке различны, если . Если точка М находится вне S, то вместо (38) имеем

и, рассуждая, как и выше, мы видим, что существует предел когда М стремится к находясь вне 5. Обозначая этот предел будем иметь, пользуясь (39),

Обозначая через значения при совпадении М с

можем переписать формулы (40) и (41) в виде

Здесь есть угол, образованный направлением с внешней нормалью в переменной точке N, т. е. . Принимая во внимание эти формулы и непрерывность функции при перемещении на S, мы можем утверждать, что функция определенная формулой (19), непрерывна внутри S и вплоть до S. Точно так же она непрерывна вне S и вплоть до S. Напомним, что внутри и вне S эта функция имеет производные всех порядков. Нетрудно видеть, что при беспредельном удалении точки М функция стремится к нулю. Действительно, обозначая через D кратчайшие расстояния точки М, находящейся вне , до поверхности S [II; 92], имеем

Отсюда и следует, что при беспредельном удалении ЛЬ Точнее говоря, если О — любая фиксированная точка, то при любом заданном положительном существует такое положительное число В, что если только М находится сферы с центром О и радиусом В.