ищем в виде потенциала простого слоя:
Пользуясь первой из формул (49), приходим к интегральному уравнению, равносильному поставленной задаче:
Это уравнение может быть также записано. в виде
Совершенно так же, используя вторые из формул (42) и (49), мы получим для внешней задачи Дирихле и внешней задачи Неймана при предельных условиях
интегральные уравнения
причем, как и выше, решение задачи Дирихле ищется в виде (123), а решение задачи Неймана — в виде (128). Напишем уравнения с параметром:
Уравнение (132) при 
соответствует внутренней задаче Дирихле, а при 
внешней задаче Дирихле. Уравнение (133) при 
- соответствует внешней задаче Неймана, и при 
внутренней задаче Неймана. Если 
есть поверхность Ляпунова и в условии
(3) а= 1, то для ядра интегрального уравнения на основании результатов из [94] мы получаем оценку
и мы можем считать, что для уравнений (132) и (133) справедливы основные теоремы теории интегральных уравнений [IV,; 10].
ограниченной поверхностью S. Будем искать решение внутренней задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя:
— направление MN и 
— направление внешней нормали в точке N поверхности. Искомой является плотность 
. Согласно первой из формул (42), внутренняя задача Дирихле С предельным значением
не симметрично, поскольку нормаль берется в точке N и 
обозначает направление 
. Мы получим транспонированное ядро союзного уравнения [IV,; 9], если будем брать нормаль в 
и считать 
от N к 
Это транспонированное ядро 
определится, таким образом, формулой
— направление внешней нормали в 
. Мы переменили знак у ядра, так как в 
должны были переменить направление 
на противоположное, а в формуле 
обозначает по-прежнему направление 
Решение внутренней задачи Неймана с предельным условием
