48. Формула интегрирования по частям и формула Грина.

Формулы Грина и Остроградского являются следствиями формул интегрирования по частям и (312), для двукратных

и трехкратных интегралов, доказанных в [II; 66,72]. Эти последние могут быть записаны в единой форме, пригодной для интегралов любой кратности, если воспользоваться интегралами вида по гиперповерхностям S, лежащим в евклидовом пространстве . В них есть элемент площади поверхности (он всегда положителен), а дает величину площади гиперповерхности определены все эти понятия для случая Для они определяются аналогично; в частности, если 5 задана явным уравнением

где заполняет ограниченную область точке поверхности

где есть значение f в точке поверхности S. Если есть граница какой-нибудь ограниченной области D пространства и если S есть гладкая поверхность то ее можно разбить на конечное число кусков каждый из которых можно задать явным уравнением, выражающим одну из координат через остальные, и интеграл по S определить как сумму интегралов взятых по этим кускам

Формула интегрирования по частям имеет вид

Она заведомо справедлива, если D есть ограниченная область евклидова пространства ее граница S — гладкая гиперповерхность, а функции и и v принадлежат т. е. непрерывны и непрерывно дифференцируемы в Стоящий в ней есть косинус угла между направлением оси и направлением нормали к S, внешней по отношению к

Формула (107) есть следствие формулы

справедливой при любом для , обладающих вышеуказанной гладкостью. Действительно, если в ней взять то придем к (107).

Получим с помощью (107) формулу Грида для произвольного линейного дифференциального оператора второго порядка. Будем предполагать, что все те производные, которые встре тятся нам ниже, непрерывны в ограниченной области D вплоть до границы и S — гладкая.

Пусть

и

где и с — заданные функции . Рассмотрим интеграл

и преобразуем его с помощью формулы (107), перенося все производные с и на v. Это приведет нас к формуле Грина

в которой

а как всюду, единичная внешняя нормаль к S.

Определим в точках поверхности S некоторое направление v, которое называется конормалъю к поверхности S. Для этого положим

и определим направление v формулами

При этом первую из формул (111) можно переписать в виде

и формулу Грина (110) можем окончательно переписать в виде

Отметим, что если выполнены равенства

то обращается в нуль, оператор совпадает и мы можем записать в виде

В этом случае оператор называют симметричным. В общем же случае дифференциальный оператор L не совпадает с L. Его называют оператором, сопряженным к L в смысле Лагранжа.