100. Производная потенциала простого слоя по любому направлению.

Мы исследовали в [97] предельные значения нормальной производной потенциала простого слоя при приближении М к по нормали. Если относительно плотности сделать большие предположения, чем непрерывность, то можно доказать, что существуют предельные значения для производных по любому фиксированному направлению и, кроме того, можно показать, что эти предельные значения не зависят от закона приближения М к . Мы предположим, что плотность удовлетворяет условию Липшица:

где — положительные постоянные . Пусть XYZ — местная система координат в точке поверхности S. Возьмем производную от по направлению лежащему в касательной плоскости к S веточке Будем пока считать, что М находится на нормали к S в точке . Для определенности предположим, что М лежит внутри S. Мы имеем

Введем величину и рассмотрим интеграл

где есть круг . Мы имеем, очевидно,

Вместо (67) мы можем написать

Пользуясь тем, что интеграл (68) равен нулю, будем иметь

Разность, стоящую под знаком интеграла, представим в виде

Оцепим каждое из в правой части Пользуясь , получим

откуда, принимая во внимание, что найдем, что

Далее, из (15) и (22) следует

Оценим третье слагаемое правой части (71) Величина есть длина вектора, идущего из точки М в точку которая является проекцией N на плоскость , и Из треугольника MNN мы имеем

откуда следует

ибо

При выводе оценок мы могли считать, что М совпадает с . При этом

Подставляя выражение (71) в интеграл (70), мы разобьем на три интеграла

по каждый из которых имеет смысл при любом положении точки М на нормали в , в частности и при совпадении М с Для подынтегральных функций этих интегралов мы получили оценки (72), (73) и (74), которые имеют вид

где постоянные не зависят от положения точки на S и точки М на нормали Отсюда следует, что при стремлении М к равномерно относительно положения точки на S стремятся к предельным значениям, которые равны Приведем доказательство этого для . Пусть — заданное положительное число Выделим часть поверхности определяемую неравенством и выберем настолько малым, чтобы интеграл

при любом положении точки М на нормали оставался по абсолютной величине . Это можно сделать в силу первой из оценок (76). Далее представляем в виде

и получим

откуда

Интеграл (М) берется по поверхности, все точки которой отстоят от и М не меньше, и, совершенно так же, как и в [98], мы получим

где не зависит от положения на S При этом (77) дает

и при мы получаем

откуда и следует, что равномерно по отношению к положению N о на

Возвращаясь к формуле (75), мы видим, что стремится равномер но к пределу при . Отметим, что этот предел один и тот же при стремлении изнутри и извне S. Проще говоря, при перемещении М по нормали функция непрерывна в точке

Интеграл берется по части поверхности S, все точки которой отстоят от М и не ближе, чем на Отсюда, как и выше, следует, что

где постоянная не зависит от положения на S и, следовательно, равномерно относительно Окончательно, мы можем утверди (М) ждать, что производная - стремится равномерно к пределу при стремлении М к по нормали, причем этот предел один и тот же, когда извне и изнутри S Совершенно аналогичное утверждение имеет, очевидно, место и для . В [98] мы доказали то, что и производная - стремится равномерно к пределу. Но там мы имели разные пределы изнутри и извне Если l — любое направление, образующее с осями X, Y, Z, то из предыдущего непосредственно следует, что производная

также равномерно стремится к предельным значениям, когда М стремится к изнутри или извне

В силу равномерного стремления производной (78) к своим предельным значениям изнутри и извне, можно утверждать, что эти предельные значения представляют собой непрерывные функции точки поверхности

Покажем, наконец, что производная (78) стремится к упомянутому вьине пределу при любом законе стремления М к а не только по нормали. Положим, для определенности, что М стремится к изнутри, и обозначим через предельные значения на поверхности производной (78), когда М стремится к вдоль по Пусть — заданное положительное число. Нам надо показать, что существует такое положительное число что

если только причем М находится внутри S. Проведем сферу с центром и выберем радиус ее настолько малым, чтобы на части о поверхности , заключенной внутри этой сферы, имело место неравенство Считаем далее, что М находится внутри сферы с центром N о и радиусом причем это число выбираем так, что

если только М лежит на нормали к в точке N и Это возможно в силу доказанной равномерности стремления к на . Кроме того, считаем еще, что . Если точка М отстоит от не больше, чем на то тем более она отстоит не больше, чем на от той точки N, на нормали к которой она находится, причем эта точка N принадлежит о. Мы имеем

и

В силу сказанного выше, оба слагаемых справа и, следовательно,

Выше мы использовали следующее элементарное предложение: кратчайшим расстоянием от точки М до поверхности 5 является длина нормали MN к поверхности S, проведенной через точку М.

Отметим еще, что интегралы (67) и (68) не имеют смысла при т.е. когда точки М и совпадают. Однако их разность, как мы видели, уже имеет смысл.

Предыдущие рассуждения приводят нас к следующей теореме, доказанной впервые А. М. Ляпуновым:

Теорема. Если плотность удовлетворяет условию Липшица (66), то производная потенциала простого слоя по любому фиксированному на правлению непрерывна вплоть до S как изнутри, так и извне. Производная по какому-либо касательному направлению в точке поверхности няется непрерывно при переходе точкою М поверхности в точке

Исследование поведения производных потенциала двойного слоя при приближении к поверхности представляет большие трудности. Основные результаты в этом отношении были получены также А. М. Ляпуновым в его упомянутой уже выше работе «О некоторых вопросах, связанных с задачей Дирихле».