107. Единственность решения задачи Неймана.

В настоящем параграфе мы дадим доказательство единственности решения внутренней задачи Неймана без предположения правильности нормальной производной. Предварительно рассмотрим тело некоторого специального вида и построим в этом теле гармоническую функцию, обладающую некоторыми свойствами, которые будут ниже указаны. Пусть тело, ограниченное поверхностью

и плоскостью , где k, а и положительные постоянные. Точку (0, 0, 0) назовем вершиной этого тела, и обозначим ее Буквою а обозначим ту часть границы этого тела, которая лежит в плоскости и буквою — остальную часть границы тела. Пусть далее две вещественные постоянные, причем Построим функцию гармоническую внутри тела непрерывную вплоть до границы, и такую, что на на . Если угол между радиусом-вектором и осью z и - функция Лежандра то, как известно при любом функция будет гармонической внутри тела Будем строить в виде

где у и — положительные постоянные, которые будут определены позднее. Мы имеем, очевидно, . Покажем, прежде всего, что при всех , достаточно близких к нулю,

Функция есть сумма гипергеометрического ряда:

вследствие чего можно написать:

или

Мы считаем , так что множители, соответствующие , положительны, а остальные отрицательны. Относя к этим последним множителям можем записать их в виде

Таким образом, выделяя первые два множителя, получаем неравенство

т. е.

откуда и следует, что если . Таким образом, (118) доказано при всех положительных р, достаточно близких к нулю. Фиксируем так, чтобы оно удовлетворяло этому условию, а также условию , где а из уравнения (116). Принимая во внимание, что получаем на поверхности (116)

где , и, окончательно, на поверхности (116)

Если , то и, в силу квадратная скобка имеет при этом отрицательный предел. Таким образом, мы можем фиксировать положительное число h настолько малым, чтобы на всей части поверхности тела иметь

Выберем, наконец, положительное число настолько малым, чтобы формула (117) давала на . Построенная функция удовлетворяет всем указанным выше условиям. На оси тела ), т. е. на оси Z, мы имеем

Если М — переменная точка этой оси, то

Докажем теперь теорему:

Теорема. Если — функция, гармоническая внутри отличная от постоянной, конечная точная нижняя граница значений внутри и существует такая точка на S, что при стремлении М изнутри к , то при стремлении М к по нормали, отношение

остается больше некоторого положительного числа.

Мы считаем, что существует тело которое касается S в точке и все точки которого, кроме , лежат внутри S. Число h фиксировано настолько малым, чтобы иметь на всей части поверхности упомянутого тела. Пусть наименьшее значение на части а поверхности Так как отлична от постоянно, то и, выбрав у достаточно малым, мы можем построить с указанными выше свойствами. При этом на остальной части поверхности При этом, направив ось Z по внутренней нормали к S в точке получим

что и доказывает теорему.

Из доказанной теоремы непосредственно следует единственность решения задачи Неймана в следующем смысле:

Если гармоническая внутри функция непрерывна вплоть до S, и на всей поверхности S, то постоянна. Пусть точка S, где имеет наименьшее значение. Из (122) непосредственно следует, что производная по нормали в точке не может стремиться к нулю, когда оставаясь на нормали. Если бы это было так, то из формулы конечных приращений мы получили бы

что противоречит (122).

Совершенно аналогично проводится доказательство единственности и для внешней задачи Неймана.

Приведенное выше доказательство было дано в совместной работе М. В. Келдыша и М. А. Лаврентьева (ДАН СССР, 1937, 16, № 3).

Если можно коснуться поверхности S изнутри сферой, то доказательство теоремы единственности проводится элементарно (Заремба С. — УМН, 1946, 1, № 3—4).