118. Вспомогательные предложения.
Мы докажем некоторые предложения о 
и супергармонических функциях, которые нам будут нужны при решении задачи Дирихле. В дальнейшем через В мы, как всегда, будем обозначать ограниченную область В вместе с ее контуром, т. е. замкнутую область.
Теорема I. Пусть 
- функции, непрерывные в 
и субгармонические внутри В. Построим функцию 
которая в каждой точке Б равна наибольшему из значений 
При этом 
будет непрерывной в В и субгармонической внутри В.
Теорема I'. Аналогично, если 
супергармонические и
то и 
супергармоническая.
Непрерывность 
в Б непосредственно вытекает из непрерывности 
. Пусть 
— некоторая точка внутри В, и пусть в этой точке 
равно, например, 
. Мы имеем, в силу субгармоничности 
Но, в силу (175), на окружности, по которой производится интегрирование, 
, а следовательно, и подавно
что и дает субгармоничность 
Теоремами. Пусть 
субгармоническая внутри В и непрерывная в 
— круг, содержащийся в 
и 
та гармоническая внутри функция, значения которой на окружности круга К совпадают со значениями 
Тогда
Теорема II. Аналогично, если 
супергармоническая функция, то
Выражение 
есть сумма субгармонической функции 
и гармонической (т. е. тоже субгармониче ской) функции 
. Значит 
есть субгармоническая
внутри к функция, равная нулю на контуре. Следовательно, согласно сказанному в предыдущем параграфе, 
внутри К, что и приводит к 
Теорема III. Если при условиях теоремы II мы заменим значения 
в круге К значениями 
и обозначим новую функцию через 
то эта функция, непрерывная в 
будет субгармонической внутри В.
Теорема III'. Такое же построение длясупергармонической функции даст супергармоническую функцию 
Вне К функция совпадает с 
и условие 
очевидно выполнено во всякой точке вне К при достаточно малом 
. Внутри К функция 
гармоническая, и 
выполнено со знаком равенства. Остается проверить выполнение 
в точках окружности круга 
Пусть 
такая точка, причем если упомянутая окружность имеет точки, общие с контуром обла 
, то мы считаем, что 
) лежит внутри В. Мы имеем
Внутри 
в силу теоремы 
а вне К будет 
следовательно, и подавно
что и требовалось доказать.
