24. Метод Якоби.

Переходим теперь к изложению обобщения метода Лагранжа — Шарпи, а именно к решению задачи о разыскании полного интеграла уравнения первою порядка с любым числом независимых переменных, причем мы будем считать, что это уравнение не содержит искомой функции, т. е. что Оно имеет вид

Если нам удастся подобрать еще функций так, чтобы полученные функций были попарно в инволюции и чтобы они были разрешимы относительно , то, взяв систему (177), в которой положим мы найдем удовлетворяющие условиям (176), и, следовательно, будем иметь и. Система (177) даст нам произвольных постоянных, и затем еще одна произвольная постоянная получится при определении и по ее частным производным . Нахождение функций можно производить постепенно. Положим, что первые функций уже имеются, так что они попарно находятся в инволюции и разрешимы относительно из величин . Для нахождения следующей функции мы должны составить уравнений

Это будут линейные однородные уравнения для искомой функции от независимых переменных .

Выпишем в раскрытом виде систему для

Поскольку мы считаем разрешимым относительно из величин мы должны считать, что некоторый определитель порядка от функций по

переменным отличен от нуля, и, следовательно, у системы (183) ранг таблицы коэффициентов при производных будет равен т. е. уравнения (185) наверное линейно-независимы Покажем, что эта система будет полной. Чтобы обнаружить это, составим разности для системы (184):

Нам надо доказать, что они обращаются тождественно в нуль. Применяя тождество (182), мы можем преобразовать написанную разность к виду

Но функции находятся в инволюции, откуда и вытекает непосредственно равенство нулю рассматриваемой разности. Таким образом, в силу сказанного в [22], система (185) имеет независимых решений. Мы имеем очевидные решения этой системы

Следовательно, кроме них должны существовать еще решений, которые совместно с решениями (186) должны быть разрешимы относительно из переменных Следовательно, у системы (185) наверное найдется решение такое, что уравнения будут разрешимы относительно из величин . Для нахождения следующей функции мы построим систему

относительно которой можем провести те же рассуждения, что и для системы (184). Таким образом мы построим все функций таких, что они будут попарно в инволюции, и система будет разрешима относительно всех Это и приведет нас, как мы видели выше, к полному интегралу уравнения (183).

Мы предполагали, что уравнение не содержит искомой функции. Если имеется уравнение, содержащее эту функцию:

то мы можем, увеличивая число независимых переменных на единицу, прийти к уравнению, не содержащему искомой функции. Для этого достаточно искать решение уравнения в неявном виде:

где С — произвольная постоянная. Применяя правила дифференцирования неявных функций, мы получим, как всегда, для v уравнение, уже не содержащее самой функции.