44. Сильные разрывы.

При исследовании разрывных решений для уравнений второго порядка мы предполагали, что сама функция и ее производные первого порядка остаются непрерывными при переходе через поверхность разрыва и что разрыв испытывают производные не ниже второго порядка (слабый разрыв). Только при таком предположении мы могли утверждать, то поверхность разрыва должна быть характеристической поверхностью. Мы переходим теперь к исследованию сильных разрывов. Это значит, что в случае уравнения второго порядка, разрыв имеют уже производные первого порядка. Нашей целью является выяснение тех обстоятельств, при которых поверхностью разрыва по-прежнему является обязательно характеристическая поверхность. Мы рассмотрим волновое уравнение с тремя независимыми переменными. Введем в рассмотрение оператор, стоящий в левсй части упомянутого уравнения:

Это выражение называется обычно оператором Лоренца. Введем в рассмотрение еще один оператор, содержащий производные первого порядка:

где n — некоторое направление в пространстве . Пусть D — некоторая область в пространстве — ограничивающая ее поверхность и — направление внешней нормали к поверхности . Применяя обычную формулу Гаусса, мы сможем, совершенно так же, как и в [II; 203], написать для оператора Лоренца следующую формулу Грина:

где u и v — две функции, имеющие непрерывные производные до второго порядка в D.

В частности, для любых

Положим, что область D разбивается некоторой поверхностью а на две части причем эта поверхность а является поверхностью разрыва для производных первого порядка от функции и. Выясним те условия, которым должен удовлетворять этот разрыв, для того чтобы формула (79) осталась по-прежнему справедливой для всего объема D в применении к функции и с разрывными производными и к любой функции . Будем при этом предполагать, что сама функция и остается непрерывной при переходе через . Пусть М — некоторая точка поверхности а и любое направление, лежащее в касательной плоскости к а в точке М. Мы будем считать, что производная при приближении к точке М с обеих сторон поверхности а, имеет один и тот же предел, и что этот предел равен производной от значений функцин и на самой поверхности а, взятой по направлению l. Это условие называют иногда кинематическим условием совместности. Если n — фиксированное направление нормали к а в точке М, то мы будем считать, что при приближении к точке М с той или другой стороны поверхности имеет определенные пределы, но эти пределы могут быть различными на различных сторонах поверхности.

Переходим теперь к формулировке условия, которое называют динамическим условием совместности. Оно состоит в том, что выражение (77) при приближении к любой точке поверхности ( — направление нормали в этой точке) имеет одинаковые пределы на обеих сторонах поверхности, если в обоих случаях

брать одно и то же направление нормали . Мы считаем далее, что формула (78) применима в отдельности к частям области D. Это будет наверное выполнено, если функция и имеет в D, и непрерывные вплоть до поверхности а производные до второго порядка. Если мы применим формулу (78) для то на поверхности а мы будем иметь в этих двух случаях прямо противоположные направления внешней нормали, так что выражение для написанных двух интегралов будет отличаться знаком. Складывая эти две формулы, мы получим для всего объема D формулу (79), так как два интеграла, взятых по о, взаимно сократятся. Итак, при сделанных предположениях относительно сильного разрыва функции и, мы получаем справедливость формулы (79) для всего объема

Выведем теперь некоторые важные следствия из сделанных предположений. Пусть — единичный вектор нормали к а. Рассмотрим векторное произведение Если через 1 обозначить орт, имеющий направление проекции и на касательную плоскость к а, так что то упомянутое векторное произведение будет равна а потому оно является непрерывным при переходе через поверхность а. Если мы образуем три составляющие этого векторного произведения, то получим следующие три выражения, которые, в силу кинематических условий совместности, должны быть непрерывными при переходе через а:

Кроме того, формулированное выше условие дает нам четвертое выражение, которое также должно оставаться непрерывным при переходе через а:

Будем рассматривать уравнения (80) и (81) как четыре уравнения первой степени относительно их, Если бы оказалось, что таблица коэффициентов этой системы имеет ранг, равный трем, т. е. если бы оказалось, что хоть один определитель третьего порядка в таблице коэффициентов отличен от нуля, то мы смогли бы решить соответствующие три уравнения относительно указанных выше производных, и эти производные выразились бы через непрерывные функции При этом оказюсь бы, что все производные первого порядка функции и остаются непрерывными при переходе через а, и мы не имели бы сильного

разрыва. Таким образом, мы можем утверждать, что ранг упомянутой таблицы коэффициентов должен быть меньше трех, т. е. все определители третьего порядка таблицы

должны равняться нулю.

Легко подсчитывается, что

а , где А есть определитель матрицы, полученной из этой таблицы вычеркиванием строки. Следовательно, равенство нулю всех А равносильно равенству

Если есть уравнение поверхности а, то это равенство переписывается очевидно в виде

и мы видим, таким образом, что и в рассматриваемом случае сильного разрыва поверхность а должна быть характеристической поверхностью уравнения . Если условие (83) выполнено, то нетрудно показать, что и все определители третьего порядка таблицы (82) равны нулю и что является линейной комбинацией а именно, мы имеем, очевидно, при этом

Мы видим, таким образом, что если выполнены кинематические условия совместности, что дает непрерывность и поверхность а есть характеристическая поверхность уравнения то отсюда уже вытекает непрерывность выражения т. е. динамическое условие совместности. Заметим, что в предыдущих рассуждениях мы пришли к уравнению характеристической поверхности, не занимаясь вовсе исследованием решений уравнения а исходя лишь из равенства (79), содержащего выражение стоящее в левой части этого равенства.

Итак, мы доказали следующее: если функция и имеет сильный разрыв на поверхности а и удовлетворяет на ней кинематическим и динамическим условиям совместности, то а является

характеристической поверхностью, и функция и удовлетворяет тождеству (79) при любой любой .

Верно и обратное утверждение, а именно: если функция имеет сильный разрыв на а, удовлетворяет на а кинематическим условиям совместности и тождеству (79) при любом , то будет характеристической поверхностью, а для функции и выполняется динамическое условие совместности: скачок функции при переходе через а равен нулю.

Действительно, нам дано, что и непрерывна в D (так что . Из тождества (79) следует

что в силу достаточного произвола в выборе функции дает т. е. динамическое условие совместности. Наконец, так как удовлетворяют однородной системе уравнений (80), (81), то, как было показано выше, это возможно только в случае, когда а есть характеристическая поверхность.

С точки зрения физических задач уравнение означает равновесие внутренних и внешних сил, действующих на элемент объема в пространстве а уравнение отсутствие поверхностных внешних сил, действующих на элемент поверхности а. Из нашего анализа следует, что эта пара уравнений эквивалентна тождеству

где v — любая функция из если и обладает указанной выше гладкостью в . В [60] мы опишем более широкие классы разрывных решений уравнения а также других линейных дифференциальных уравнений, положив в основу их определения тождества этого типа.