115. Доказательство леммы.

Образуем потенциал двойного слоя, распределенного вдоль дуги с плотностью единица:

Это есть угол, под которым видна дуга из точки М, причем мы считаем, что М принадлежит Функция (155), гармоническая внутри принимает непрерывные предельные значения во внутренних точках дуг

Рис. 9.

Рис. 10.

При приближении точки N контура к точке со стороны дуги и со стороны дуги мы будем иметь для упомянутых предельных значений функции (155) различные пределы, которые обозначим

Эти пределы суть углы, образованные секущей с различными. направлениями касательной к контуру области в

точке причем мы имеем

Если мы будем приближать точку М к вдоль какого-нибудь луча который образует угол с указанным на чертеже направлением касательной в точке, то функция (155) будет, как нетрудно видеть из чертежа, иметь предел: который, на основании (156), может быт записан в виде

При приближении М к любым образом функция (155) может иметь различные предельные значения, но они должны содержаться между и функция (155) будет ограниченной в окрестности N. Совершенно аналогичные результаты получатся и в точке .

Определим на контуре он функцию равную нулю внутри внутри Обозначая, как и выше, через предельные значения функции (155), внутри образуем функцию Нетрудно видеть, что она будет непрерывной на всем контуре включая точки так как уменьшаемое и вычитаемое имеют в этих точках одинаковый скачок. Значение этой функции, например в точке будет равно Пусть гармоническая в функция, имеющая на контуре непрерывные предельные значения Построим гармоническую функцию

Ее предельные значения внутри будут нуль и внутри единица. Кроме того, в силу сказанного выше относительно при приближении М к или предельные значения должны обязательно принадлежать промежутку [0, 1].

В силу принципа максимума и минимума и все внутренние значения функции (158) будут находиться внутри этого промежутка, т. е. если М внутри В Положим, что суть углы, образованные касательными к линии в точка к с касательными к контуру области в этих же точках. При приближении вдоль к точке функция имеет, в силу (157), предел а функция с непрерывными предельными значениями будет иметь предел и, в силу (156), функция (158) будет иметь предел так же в точке функция (158) будет иметь предел Оба эти предела меньше единицы, а

внутри области мы имеем . Отсюда непосредственно следует, что существует такое положительное число что на .

После этих вспомогательных построений вернемся к функции упомянутой в лемме. Заменяя эту функцию на можем считать, что число А, фигурирующее в лемме, равно единице, т. е. гармоническая функция непрерывная в замкнутой области имеет на предельные значения, равные нулю, и на . В точках предельные значения равны, очевидно, нулю. Составим гармоническую функцию Ее предельные значения внутри дуги равны нулю и внутри дуги неотрицательны, ибо внутри имеем . При приближении М к предельные значения должны принадлежать промежутку [0, 1). Отсюда непосредственно следует, что в замкнутой области т. е. и, следовательно, на мы имеем . Совершенно так же и отсюда следует, что — на . Полученные два неравенства дают что и доказывает лемму. Это доказательство может быть повторено и в трехмерном случае.