50. Формула Соболева.

В случае волнового уравнения с четырьмя независимыми переменными мы имели формулу Кирхгофа [II; 212]. Пусть и — решение волнового уравнения, имеющее непрерывные производные до второго порядка в некоторой области D пространства ограниченной поверхностью S. Формула Кирхгофа выражает значение и в любой точке внутри области D через интеграл по поверхности S, причем в этот интеграл входят запаздывающие значения и и ее производных первого порядка. Мы видели также, что при специальном выборе поверхности S формула Кирхгофа приводит к решению задачи Коши, когда начальные данные заданы при Формула Кирхгофа может быть обобщена и на случай волнового

уравнения с любым четным числом независимых переменных?

и так же, как и выше, она дает для этого уравнения решение задачи Коши (см. об этом далее в [55]).

Мы укажем сейчас обобщение формулы Кирхгофа на случай волнового уравнения с переменным коэффициентом

где — положительная функция, имеющая достаточное количество производных. В дальнейшем вместо с(х, у, z) мы будем часто писать , где М — точка с координатами

Принимая во внимание теорию характеристик для уравнения (122), мы, естественно, приходим к задаче об экстремуме функ ционала

В данном случае условие трансверсальности совпадает с условием ортогональности, и мы можем строить поле для вариационной задачи так, как это было указано в [42]. Пусть основная функция центрального поля с центром Эта функция дает величину интеграла (123), взятого по экстремали от до М. Уравнение дает квазисферы с центром при метрике, определенной формулой (123). Для функции мы имем уравнение

Функция является, очевидно, симметричной функцией и М. Если с есть постоянная, то где есть расстояние от до М. В общем случае будет применяться нами вместо при определении запаздывающих значений какой-либо функции и мы, как и в [II; 212], введем обозначение

Положим, что есть решение уравнения (122), и для простоты письма обозначим

Перейдем в уравнении (122) к запаздывающим значениям

где — оператор Лапласа. Выразим через . Мы имеем

и, подставляя в (125) вместо его выражение из последнего уравнения, получим, пользуясь (124),

Аналогично первой из формул (126) имеем

и, подставляя выражение для из последнего уравнения в предыдущую формулу, получим следующую важную для дальнейшего формулу:

Умножим обе части этого равенства на неопределенную пока функцию

и подберем эту функцию так, чтобы правая часть была расходимостью некоторого вектора вида , где w — вектор, не зависящий от

Раскрываем правую часть:

Сравнивая с (127), видим, что равенство (128) будет иметь место и w не будет зависеть от если удовлетворяются следующие два равенства:

Подставляя первое из этих равенств во второе, мы получим уравнение для определения а:

т. е.

или в координатах

т. е. для определения от мы имеем линейное уравнение первого в порядка. Имея а, мы сможем определить вектор w по первой из формул (129). Пусть D — некоторая область трехмерного пространства — ограничивающая его поверхность. Положим, что в области D функции а и имеют непрерывные производные до второго порядка. Применим формулу Грина

где n — направление внешней нормали на S. Пользуясь форму лами (128) и (129), можем переписать формулу Грина в виде

и, применяя к интегралу, содержащему расходимость, формулу Остроградского, получим

Возвращаясь к функции и принимая во внимание, что

получаем следующую основную для дальнейшего формулу:

Во всех предыдущих вычислениях мы могли считать поле не центральным, а любым. Функция а, которая должна удовлетворять уравнению (130), зависит, очевидно, от , т. е. от выбора поля. В дальнейшем мы будем иметь дело только с центральным полем и функцию а будем обозначать через . Все наши рассуждения относятся лишь к такой окрестности точки , в которой экстремали интеграла (123) не пересекаются и

образуют поле. Если с — постоянная, то, как мы уже указывали, и нетрудно проверить, что уравнению (130) удовлетво ряет функция .