167. Предельная задача для сферы.

Мы будем рассматривать сейчас предельную задачу для волнового уравнения:

в случае сферы. Предварительно докажем лемму: если и есть решение уравнения (183) однородное, нулевой степени относительно переменных , и если оно обращается в нуль на сфере то выражение

где любая непрерывная функция и нижний предел может быть любым заданным числом, также есть решение уравнения (183).

Дифференцируя решение (184), получим

Но по условию , и, следовательно,

Дифференцируем еще раз:

Совершенно аналогичные выражения получим для вторых производных по . Для второй производной по t будем иметь

Подставляя в уравнение (183) и принимая во внимание, что , по условию, удовлетворяет уравнению (183), получим в результате подстановки равенство

Но, в силу теоремы Эйлера об однородных функциях, мы имеем

Подставляя сюда , убеждаемся в том, что равенство (185) выполнено, и, следовательно, формула (184) дает действие тельно решение уравнения (183).

Будем теперь искать специального вида решение уравнения (183), а именно:

где сферическая функция порядка искомая функция.

Преобразуя уравнение (183) к сферическим координатам, получим [II; 131]

Подставляя выражение (186) и принимая во внимание, что удовлетворяет уравнению

мы придем к следующему уравнению для

или

Чтобы найти капомним уравнение, которому удовлетворяют полиномы Лежандра

Введем полином степени

Интегрируя обе части предыдущего уравнения по промежутку , получим

или, в силу (189),

и, сравнивая с (188), мы видим, что функция

будет решением уравнения (183). В силу т. е. решение (190) обращается в нуль при Кроме того, очевидно, что решение (190) является однородной функцией нулевого измерения от переменных . Пользуясь леммой, мы можем утверждать, что функция

при любом выборе непрерывной функции также будет решением уравнения (183).

После этих предварительных соображений перейдем к решению предельной задачи для специального вида предельного условия. Пусть ищется вне сферы решение уравнения (183), удовлетворяющее однородным начальным условиям

и недельному условию вида

где заданная функция. Мы предполагаем, что эта функция имеет непрерывные производные до второго порядка и что

Обратимся к формуле (191). Если мы в правой ее части заменим t на то получим вновь решение уравнения (183).

так как коэффициенты этого уравнения не содержат t. Будем искать решение поставленной предельной задачи в виде

где искомая функция от при . Из (195) непосредственно следует первое из условий (192). Дифференцируя формулу (195) по t при и полагая затем получим, в силу второе из условий (192). Предельное условие (193) дает нам интегральное уравнение для

Написанное уравнение есть уравнение Вольтсрра первого рода. Дифференцируя его почленно, получим уравнение

причем, в силу (194), это последнее уравнение, равносильно предыдущему. Дифференцируя еще раз, получим, в силу (194), равносильное уравнение второго рода

Ядра написанных уравнений зависят только от разности , и, применяя метод, указанный в , получим решение в виде

где есть сумма вычетов функции

относительно корней ее знаменателя.

Предельное условие (193) начинает действовать с момента . До этого момента мы имеем покой. Фронт возмущения будет двигаться со скоростью единицы. Вне сферы с центром в начале и радиусом мы будем иметь, в силу (195), к моменту времени 4 покой. На самом фронте волны могут терпеть

разрыв непрерывности производные второго порядка. Отметим, что к любому непрерывному предельному условию мы можем приблизиться в среднем на сфере при помощи предельных условий вида (193). Это следует из замкнутости сферических функций. Указанный выше метод применим и на плоскости для внешности круга (Смирнов В. И. — ДАН СССР, 1937, 14, № 1).