97. Нормальная производная потенциала простого слоя.
Пусть 
направление внешней нормали в некоторой точке 
поверхности S. Считая, что М лежит не на S, составим производную от функции (44) по направлению 
От М зависит только множитель 
и мы можем дифференцировать под знаком интеграла:
Отметим разпйцу между последним интегралом и интегралом (19), определяющим потенциал двойного слоя. В интеграле 
, где 
— единичный вектор внешней нормали в точке N, которая является переменной точкой интегрирования, а в интеграле 
где 
единичный вектор внешней нормали в фиксированной точке 
. В обоих случаях 
есть направление MN (рис. 7). Покажем, что интеграл (47) существует и в том случае, когда М совпадает с точкой 
, упомянутой выше. В этом последнем случае мы будем записывать интеграл (47) в виде
где 
расстояние 
и угол 
есть угол между направлениями 
. Далее мы покажем, что при приближении М к 
изнутри поверхности или извне поверхности по нормали производная (47) имеет определенные пределы, и для этих пределов имеют место формулы
где, как и в [95], значки 
показывают, что надо брать пределы при стремлении М к 
изнутри и извне, и левые
Рис. 7
части формул представляют собою лишь обозначения этих пределов.
В местной системе координат с началом в 
направление по совпадает с направлением оси Z. Будем, как и выше, через 
обозначать координаты 
а через 
- координаты N в упомянутой системе координат. Выделяя, как всегда, участок 
поверхности S, напишем интеграл (47) в виде
Если М совпадает с 
, то 
и интеграл принимает вид 
где заменено по формуле (4). Принимая во внимание 
а также неравенство 
, непосредственно убедимся в том, что написанный интеграл имеет смысл. Таким образом, мы доказали существование интеграла (47) для М, лежащих на S. Переходим к доказательству формул (49).
Составим разность интеграла (47) и потенциала двойного слоя с тою же плотностью 
:
Написанный интеграл имеет смысл, если М находится не на S или если М совпадает с 
.
Докажем, что эта разность остается непрерывной, когда М пересекает поверхность S в точке 
. Для этого, как и в предыдущих параграфах, достаточно показать, что написанный интеграл, взятый по малому участку 
поверхности S, определяемому условием (17), может быть сделан сколь угодно малым по абсолютной величине. 
будем предполагать при дальнейших оценках, что М находится на нормали к S в точке 
, т. е. что в местной системе координат 
. При этом мы имеем
Принимая во внимание (15) и оценки
где 
— длина проекции MN на плоскость XY, получим
где 
некоторая постоянная, и будем иметь, принимая во внимание (22),
где 
— постоянная. Эта оценка имеет место при любом положении М на нормали к S в точке 
причем М может совпадать с 
Отсюда и следует, что при 
достаточно малом, интеграл, стоящий в правой части (51) и взятый по 
будет при соответствующем выборе 
по абсолютной величине меньше любого заданного положительного числа. Тем самым доказано, что разность (51) непрерывна в точке 
Но 
имеет предел при стремлении М к 
изнутри или извне поверхности S. Отсюда следует, что и величина (47) имеет также предел в обоих случаях Используя непрерывность разности (51), получим
и, принимая во внимание первую из формул (42), получим первую из формул (49). Аналогично получается и вторая из формул (49). Из этих формул непосредственно следует величина скачка нормальной производной потенциала простого слоя:
