55. Случай любого числа независимых переменных.
Применение метода С. Л. Соболева для случая многих независимых переменных требует введения нескольких функций 
. Мы изложим применение этого метода для волнового уравнения с постоянным коэффициентом:
(см. Соболев С. Л. Об одном обобщении формулы Кирхгофа. — ДАН СССР, 1933, 1).
Через М мы будем обозначать точки в пространстве 
с координатами 
Кроме того, будем рассматривать пространство 
с координатами 
или 
Характеристический конус для (167) с вершиной 
имеет в 
уравнение
где
Через 
обозначается, как и выше, запаздывающее значение функции 
т. е. значение 
на нижней относительно t половине конуса (168). Как мы уже отмечали [40], на характеристической поверхности имеются соотношения между функцией и, удовлетворяющей уравнению (167), и ее производными. Установим эти соотношения для производных от и по t:
причем мы будем рассматривать 
как функции в 
Отметим предварительно, что основное уравнение (124) имеет в данном случае вид
Производя дифференцирование функции 
по координатам как непосредственно, так и через посредство аргумента 
, мы получаем, пользуясь легко проверяемой формулой
где точка обозначает скалярное произведение в 
, следующую формулу:
Вводя оператор
можем переписать (172) в виде
Это и есть те соотношения, которые выполняются на конусе (168). Оператор L удовлетворяет соотношению
Для степеней 
мы имеем
Вводим функции 
Мы имеем
Пусть D — некоторая область пространства 
не содержащая точки 
Составим интеграл кратности 
Из (174) и (178) следует, что этот интеграл равен нулю. Принимая во внимание (175) и формулу
можем преобразовать интеграл (179) в интеграл по поверхности S, ограничивающей область Z). Учитывая еще формулу
мы можем написать
где 
— направление внешней нормали на S. Если область D содержит точку 
внутри себя, то предыдущая формула применяется
после выделения 
малой сферой. Переходя затем обычным образом к пределу, получаем следующую формулу:
где постоянная А определяется формулой
При 
формула (180) совпадает с формулой Кирхгофа. Если за поверхность S взять сферу с центром 
и радиусом 
, то запаздывающие значения производных функций и выразятся через начальные данные для 
при 
и мы получим в явном виде решение задачи Коши, которое мы имели раньше в другом виде [II; 184], Совершенно так же, используя формулу (180), можно решить задачу Коши и для того случая, когда начальные условия даны на поверхности 
. Отметим, что под знак интеграла будут входить и производные от начальных данных, так что для решения задачи нам надо требовать непрерывности производных от начальных данных до определенного порядка, зависящего от k, что мы отмечали и раньше. В работе С. А. Христиановича (Матем. сб., 1937, 2, № 5) этот метод был распространен на нелинейные гиперболические уравнения.
