46. Характеристические начальные данные.

Рассмотрим теперь ту задачу, к которой привелось построение функции Римана, причем мы будем рассматривать только случай однородного уравнения. Пусть требуется определить решение уравнения

если заданы значения только искомой функции и на прямых СА и СВ, параллельных осям (рис. 1). Через обозначим координаты точки С. Отметим, что если нам заданы значения и на СВ, то мы тем самым знаем вдоль СВ и частную производную их. Но тогда уравнение (94), при подстановке и известных функций и и превращается в обыкновенное линейное уравнение первого порядка для функции вдоль СВ. Интегрируя это уравнение, мы будем знать и значение частной производной вдоль СВ. Точно так же, имея значение и вдоль СЛ, мы будем знать и обе частные производные первого порядка от и вдоль СА. Произвольные постоянные, получаемые при интегрировании обыкновенных уравнений первого порядка, определятся, так как можно считать известными и их в точке С. Указанные рассуждения показывают нам, почему вдоль характеристик СА и СВ достаточно задавать только значения самой функции и. Изложенный выше метод Римана будет применим

дословно и к рассматриваемой задаче, и мы получим для искомой функции формулу

где, как и выше, v есть функция Римана (93).

В первом из написанных интегралов перепишем подынтегральную функцию в виде

и произведем интегрирование. Аналогичное преобразование применим и ко второму интегралу. В результате мы будем иметь следующую формулу:

Применим полученную формулу для доказательства одного свойства функции Римана. Заметим прежде всего, что оператором, сопряженным с оператором будет исходный оператор Действительно,

и сопряженный оператор будет:

Применим формулу (95) к функции Римана и оператора . В операторе коэффициенты при равны и, следовательно, функция Римана этого оператора есть решение уравнения (94), удовлетворяющее на прямых СА и СВ уравнениям и, кроме того, мы должны иметь Точка будет играть при этом роль точки функции (93).

Пользуясь формулой (95) для этого частного случая, мы придем к следующей формуле:

т. е. функция Римана (93) оператора переходит в функцию Римана сопряженного оператора если переставить у нее точки . Если выражение совпадает с выражением то выражение или оператор называется симметричным, и для симметричного оператора функция Римана будет симметричной функцией тех двух точек, от которых она

зависит. Принимая во внимание выражения для нетрудно написать условия, при которых будет симметричным: . Задача определения решения уравнения (94) при задании значений самой функции на двух характеристиках называется обычно задачей с характеристическими начальными данными. Формула (95) совершенно так же, как и в случае задачи Коши, показывает, что задача с характеристическими начальными данными может иметь только одно решение.