144. Обобщенные решения класса ...

Для дальнейшего нам удобнее считать оператор L записанным в виде

Если коэффициенты имеют в D обобщенные производные первого порядка, то любой оператор L из (391) может быть представлен в виде (402) и наоборот (меняются только значения коэффициентов . В ближайших пунктах мы исследуем разрешимость задачи Дирихле

в ограниченной области D для общих эллиптических операторов L с переменными коэффициентами в зависимости от значений числового параметра . Если и с суть измеримые ограниченные на D функции и имеют ограниченные обобщенные производные первого порядка, то для любой функции и из

есть элемент и при любой имеет место равенство

где через обозначена билинейная форма

Здесь и в дальнейшем мы опускаем знак суммирования по дважды повторяющимся индексам. Равенство (404) получается в результате интегрирования по частям первой группы членов левой части (404) (см. формулу (107) из [48]). Так как , а множество плотно в пространстве , то равенство (404) справедливо при любой из Действительно, произвольную функцию из можно аппроксимировать в норме функциями из . Для и и равенство (404) имеет место, и в нем можно перейти к пределу по . В результате получим (404) для любых функций и

Если и принадлежит и удовлетворяет уравнению

(при почти всех х из ), то для него и любой из справедливо соотношение

Верно и обратное утверждение: если для элемента и из равенство (407) выполняется при любой из хотя бы при любой из то и есть решение уравнения (406). Действительно, из (407) и (404) следует, что

и так как первый множитель принадлежит а второй есть произвольный элемент хотя бы , то согласно теореме 2 из [IV,; 112] первый множитель будет равен нулю. Таким образом, уравнение (406) и тождество (407) с любым из или эквивалентны на функциях и из . Однако тождество (407) имеет смысл для функций и из

Более того, в него не входят производные а, по Благодаря i этому можно ввести следующее расширение понятия решения уравнения (406):

Функция называется обобщенным решением класса уравнения (406) (короче об. решением), если она принадлежит и удовлетворяет тождеству (407) при всех из . Относительно коэффициентов и с при этом можно предполагать лишь, что они суть измеримые, ограниченные на D функции. В соответствии с этим обобщенным решением класса задачи (403) назовем функцию и из удовлетворяющую тождеству (407) при всех из

Такое расширенное толкование понятия решения задачи (403) оказалось весьма целесообразным. Если для при любых вещественных числах выполнено неравенство

являющееся ни чем иным, как условием эллиптичности L, если дифференцируемы, то для задачи (403) верны утверждения, которые естественно было назвать теоремами Фредгольма. Они аналогичны трем теоремам Фредгольма, доказанным выше для интегральных уравнений Фредгольма второго рода, а также для более общих уравнений вида в сепарабельном гильбертовом пространстве (в частности, в ) с вполне непрерывным оператором А (см. , а также [V; 133—135]). Мы приведем здесь их формулировки. Доказательство же этих утверждений, хотя и очень просто с аналитической точки зрения, требует знания ряда понятий и теорем функционального анализа, которые мы излагаем лишь в пятом томе. Первая теорема Фредгольма утверждает, что если задача (403) имеет не более одного об. решения класса то она разрешима при любой из .

Это верно и при комплексных только в этом случае надо иметь дело с комплексными пространствами и т. е. считать, что u и f суть элементы этих пространств. Коэффициенты же для L мы везде предполагаем вещественными. Для формулировки второй теоремы Фредгольма надо ввести в рассмотрение две спектральные задачи:

и

где L есть дифференциальный оператор, сопряженный по Лагранжу к L. Согласно с [48] L имеет вид

Под нетривиальными . решениями класса задачи понимаются отличные от тождественного нуля элементы и удовлетворяющие тождеству (407) с Аналогично . решения класса задачи (409) — это элементы удовлетворяющие тождеству

при любой из

Вторая теорема Фредгольма имеет следующее содержание? задачи (408) и (409) имеют нетривиальные об. решения для не более, чем счетного множества значений . Они совпадают с теми , о которых шла речь в [143]. Каждому соответствует лишь конечное число линейно-независимых . решений задачи (408) и задачи (409), и число тех и других совпадает. Набор чисел называется спектром оператора L и оператора L в области D при условии Дирихле.

Таким образом задача (403) однозначно разрешима при любой f из для всех X, не совпадающих с Если же в то нетрудно убедиться, что для разрешимости задачи обязано удовлетворять равенствам

где есть любое . решение задачи (409) с Это следует из (407), если в нем положить и заме тить, что

Третья теорема Фредгольма для задачи с утверждает, что выполнение равенства (411) является необходимым и достаточным условием разрешимости задачи (403) в пространстве Задача в этом случае имеет бесчисленное множество решений. Все они могут быть записаны в виде где есть какое-нибудь частное . решение задачи суть . решения задачи (408)]

при произвольные числа. Для справедливости всех перечисленных утверждений существенно, что область D — ограничена и коэффициенты удовлетворяют условиям

где положительные постоянные. Предположения же об эграниченности и с могут быть ослаблены — заменены предположениями об их принадлежности для Для с. Может быть ослаблено и предположение относительно например, заменено на принадлежность f к при и с любым конечным q при . Близким образом исследуется и случай неоднородного краевого условия Дирихле, а также вторая и третья краевые задачи.

При уравнение

является уравнением Эйлера для квадратичного функционала

а соответствующее (412) тождество

есть не что иное, как равенство нулю первой вариации на функции u и . Таким образом с задачей Дирихле для уравнения (412) связана вариационная задача о нахождении экстремальных точек функционала на классе функций из

Решения этой задачи (если они существуют) являются не чем иным, как обобщенными решениями класса задачи

Дирихле для (412).

В мы показали, что инфимум функционала на реализуется на единственном элементе если же верно и при любой ограниченной неположительной функции . Проведенное там рассуждение но опиралось на существование решения задачи Дирихле для уравнения (412); напротив, оно само гарантирует существование обобщенного решения класса задачи Дирихле для (412). Основы такого пути изучения краевых задач (прямых методов) были заложены Гильбертом, давшим оправдание принципа Римана для . А именно, он доказал, не привлекая теории потенциала что среди гладких функций, удовлетворяющих

краевому условию , имеется такая, которая реализует инфимум интеграла

и она является гармонической функцией в D. Правда, в то время работали лишь с непрерывно дифференцируемыми функциями и стремились получать сразу классические решения. Это существенно усложняло все исследование. В 20-х годах начали отказываться от обычных (классических) производных, вводя те или иные обобщенные производные. В начале 30-х годов, когда уже сформировалось то понятие обобщенного дифференцирования, которое изложено в конце тома задача на определение инфимума была поставлена и решена, по сути дела, в той форме, которая изложена в . В работе К. Фридрихса «Spektraltheorie halbbe-schrankter Operatoren und Anwendungen auf die Spektralzer-legung von Differentialoperatoren» (Math. Ann., 1934, 109, № 4-5, S. 465-487, 685-713) разрешимость этой задачи была положена в основу построения самосопряженных полуограниченных расширений эллиптических операторов

заданных первоначально на множестве всех гладких функций, равных нулю на 5. Коэффициенты при этом считались непрерывно дифференцируемыми (или общее — ограниченно дифференцируемыми функциями ), а за основное гильбертово пространство, в котором ставили вопрос о расширениях неограниченных операторов L, бралось пространство . Мы вернемся к этому вопросу в пятом томе.

Сформулированные в этом пункте теоремы о разрешимости задачи (403) (и аналогичные теоремы о разрешимости для уравнения других классических краевых задач) были доказаны разными методами в конце 40-х годов М. И. Вишиком, О. А. Ладыженской и С. Г. Михлиным. Введенные ими определения обобщенных решений различны по форме, но эквивалентны по существу дела. Мы привели определения обобщенного решения уравнения и обобщенного решения задачи (403), предложенные О. А. Ладыженской. Они оказались удобными при исследовании не только линейных, но и нелинейных краевых задач. Доказательство теорем Фредгольма, данное ею, проводится по следующему плану: сначала устанавливается эквивалентность тождества (407) некоторому операторному

уравнению вида в гильбертовом пространстве с вполне непрерывным оператором А. Для этого используются лишь оценки, доказываемые нами в следующем пункте, и теорема Рисса об общем виде линейного функционала. После этого, с помощью теорем Фредгольма, справедливых для таких уравнений, извлекаются те утверждения о разрешимости задачи (403), которые мы перечислили выше (см. в связи с этим лекции О. А. Ладыженской, изданные в виде книги: Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1970. Более подробный анализ задач (403) и (408) и соответствующая библиография содержатся в монографии О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой, указанной в предыдущем пункте).