168. Колебания внутренней части сферы.

Будем теперь строить решение уравнения (183) при наличии условий (192) и (193)] для внутренней части сферы. Если 1, то, как нетрудно показать, есть четная функция при четном и нечетная при нечетном и решение (191) мы можем записать в виде

Заменяя в правой части этой формулы t на получим решение вида

где при . Этому решению соответствует волна, идущая от поверхности сферы внутрь. Оно перестает быть конечным при в центре сферы, т. е. при . При соответствующая волна доходит до центра сферы, и естественно добавить к этому решению решение (196), заменив в нем t на и выбрав специальным образом. Это приводит нас к решению вида

где при . В пределах интегрирования мы имеем , и решение (198) остается конечным и при Оно обращается при этом в нуль. Для того, чтобы делать меньше предположений относительно производных функции входящей в предельное условие (193) возьмем за основное то решение, которое получается из (198) дифференцированием по t. Принимая во внимание, что при 1, получим решение

где

и при . Из этого выражения, как и в [167] следует, что при всяком соблюдаются условие (192). Легко непосредственно проверить, что формулы (199) и (200) дают решение уравнения (183) и при если имеет непрерывную производную. Отметим, что формула (198) не дает решения уравнения (183) при

Предельное условие (193) приводит к следующему уравнению:

Положим, что имеет непрерывную производную и Дифференцируя уравнение (201) по получим

и при

Уравнение дает возможность построить методом последовательных шагов. Сначала определяем в промежутке из уравнения Вольтерра;

Затем определяем в промежутке из уравнения t

правая часть которого известна и т. д. Полученную функцию подставляем в правую часть (200).

Для решения уравнения можно использовать одностороннее преобразование Лапласа. Наметим в общих чертах этот метод. Окончательная формула будет нами получена ниже другим путем.

В уравнении представляем интеграл в виде суммы двух интегралов с нижним пределом нуль, умножаем обе части на

, где - достаточно большое положительное число, и интегрируем по t на промежутке Введем обозначения:

воспользуемся теоремой свертывания и формулами

Эти формулы легко получаются путем непосредственного интегрирования левых частей Указанный прием приводит к следующему уравнению для

Использовав формулу обращения для преобразования Лапласа, получим

Вещественное число берется настолько большим, чтобы все особенности функции лежали левее прямой интегрирования

Оправдание возможности применения преобразования Лапласа и обратного преобразования облегчается в данном случае тем, что при помощи метода шагов мы уже установили существование и можем дать оценку этой функции при больших если наложить некоторые условия на при больших . Подставляя выражение (205) в формулу (200), переставляя порядок интегрирования и пользуясь легко доказываемым равенством

мы получим

Укажем более короткий путь получения последней формулы. Подставляя выражение (199) в уравнение (183) и пользуясь уравнением для получим следующее уравнение для

К этому уравнению надо добавить условия

Умножая обе части уравнения (208) на интегрируя по t на промежутке и учитывая условия (209), получим для функции

уравнение

Применение преобразования Лапласа к (210) дает

Кроме того, функция должна быть конечной при Уравнение (212) приводится к уравнению Бесселя и, принимая во внимание (213) и конечность при получаем

После этого обращение преобразования (211) и приводит нас к формуле (207)

Выяснение условий, которые надо наложить на для оправдания применения преобразования Лапласа и формулы (207), находится в работе. Петрашень Г. И. Динамические задачи теории упругости в случае изотропной сферы. — Уч. зап. ЛГУ, сер. матсм. наук, 1950, № 21. Материал настоящего и следующего параграфов взят нами из этой работы.