28. Теорема Ковалевской.

Указанный выше метод мажорантных рядов или функций применим и для доказательства существования и единственности решения задачи Коши для уравнений с частными производными. При этом мы будем брать всегда дифференциальные уравнения в разрешенной форме. Пусть имеется дифференциальное уравнение первого порядка

где - регулярная функция в точке

причем без ограничения общности мы приняли начальные значения независимых переменных равными нулю. Ищется решение уравнения, удовлетворяющее следующему условию Коши;

При этом мы счйтаем, что функция регулярна при нулевых значениях своих аргументов и, кроме того,

и значок нуль, поставленный снизу, будет указывать всегда на то, что все аргументы функции заменены нулями. Прежде чем переходить к решению этой задачи, мы при помощи элементарной замены искомой функции упростим условия задачи, а именно введем вместо функции и новую искомую функцию по формуле

где постоянная А представляет собою значение правой части уравнения (205) при начальных значениях (206) аргументов, т. е., проще говоря, А есть свободный член в разложении правой части уравнения (205) в соответствующий степенной ряд

Новая искомая функция должна удовлетворять уравнению

и вместо начального условия (207) мы будем иметь начальное условие

Обратим внимание на аргументы функции, стоящей в правой части уравнения (209). Аргумент и становится равным если положить все . Точно так же каждый из аргументов становится равным если

положить опять все . Таким образом, аргументы упомянутой функции при нулевых значениях совпадают как раз с начальными значениями (208), при которых функция регулярна. Мы можем, таким образом, утверждать, что правая часть уравнения (209) есть регулярная функция в точке

Кроме того, принимая во внимание вычитаемое, стоящее в правой части (209), мы можем утверждать, что эта правая часть обращается в нуль при начальных значениях (210) аргументов. Мы привели таким образом начальное значение Коши и все начальные значения аргументов у функции, стоящей в правой части уравнения, к нулю. Удерживая прежнее обозначение, мы получаем, таким образом, следующую задачу; имеется дифференциальное уравнение

где — регулярная функция в точке

равная нулю в этой точке, и ищется решение этого уравнения, удовлетворяющее условию

Заметим, что правая часть уравнения (211) должна разлагаться в ряд вида

сходящийся при всех значениях аргументов, достаточно близких к нулю.

Совершенно так же, как в случае обыкновенного дифференциального уравнения, мы будем, пользуясь уравнением (211) и начальным условием (212), вычислять коэффициенты ряда Маклорена искомой функции т. е. значение всех частных производных при нулевых значениях аргументов. При дифференцировании по любому аргументу, кроме мы можем предварительно положить .

Таким образом, начальное условие (212) показывает нам, что

где какие угодно целые неотрицательные числа. Будем теперь вычислять начальные значения тех производных, в которые входит дифференцирование по Из уравнения (211) следует, что

Дифференцируя обе части уравнения (211) любое число раз по переменным и вводя затем нулевые значения аргументов, мы в правой части будем иметь уже вычисленные значения производных (214) и (215) и таким образом определим

при любых неотрицательных значениях . Возьмем теперь то уравнение, которое получится уравнения (211) путем дифференцирования по и будем поступать с ним так же, как мы поступали с основным уравнением. Это даст нам вполне определенные значения для производных

Поступая так и дальше, мы можем вычислить любую частную производную искомой функции при начальных значениях аргументов и составить ряд Маклорена

Предыдущие рассуждения так же, как и в случае обыкновенного дифференциального уравнения, доказывают единственность регулярного решения поставленной задачи Коши. Для доказательства существования нам надо обнаружить, что при подстановке полученных начальных значений производных в ряд (216) он сходится в некоторых кругах с центром в начале. Совершенно так же, как и в предыдущем параграфе, можно утверждать, что если мы заменим ряд (213) мажорантным рядом, и если для полученного мажорантного уравнения составленный указанным выше образом ряд (216) будет сходящимся, то тем более он будет сходящимся и для первоначального уравнения. Положим, что ряд (213) абсолютно и равномерно сходится при условии:

и пусть М — наибольшее значение модуля суммы этого ряда при этих условиях. Функция

будет мажорантной для (213), причем мы вычли в правой части предыдущей формулы число М, чтобы избавиться от

свободного члена, который отсутствует и в ряде (213). Тем более мажорантной для ряда (213) будет функция

Если мы разделим переменную на некоторое число а, удовлетворяющее условию , то различные степени этого числа появятся в знаменателях коэффициентов членов, содержащих степени и функция

будет и подавно мажорантной для (213). Мы имеем, таким образом, мажорантное уравнение

Вычисляя коэффициенты Маклорена для решения этого уравнения, удовлетворяющего начальному условию (212), мы получим степенной ряд, обращающийся в нуль при и мажорантный для ряда (216), составленного для уравнения (211), Если этот ряд окажется сходящимся, то тем более будет сходиться ряд (216), составленный для уравнения (211). Мы строим сейчас решение уравнения (217), которое удовлетворяет не нулевому начальному условию, а условию

где степенной ряд с неотрицательными коэффициентами. Последовательное вычисление коэффициентов Маклорена для такого решения может быть произведено совершенно так же, как и выше, но только начальное условие (218) приведет к тому, что в правой части формул (214) при всех неотрицательных значениях а будут стоять уже не нули, а некоторые неотрицательные числа. Вычисление дальнейших коэффициентов производится, как и выше, и приводит к действиям сложения и умножения над уже полученными неотрицательными коэффициентами и положительными коэффициентами в разложении правой части уравнения (218). Таким образом, если мы для уравнения (217) заменим нулевое начальное условие (212) начальным

условием (218), где разлагается в ряд с вещественными неотрицательными коэффициентами, то ряд (216) для уравнения (217) с начальным условием (218) будет мажорантным по отношению к ряду (216) для уравнения (217) с нулевым начальным условием (212) и тем более мажорантным по отношению к ряду (216) для уравнения (211) с начальным условием (212). Таким образом, все сводится к доказательству того, что ряд (216) для уравнения (217) с каким-либо начальным условием вида (218), где обладает указанным выше свойством, будет сходящимся внутри некоторых кругов с центром в начале.

Иначе говоря, все дело сводится к построению решения уравнения (217), удовлетворяющего условию вида (218), и к доказательству того, что это решение разлагается в ряд Маклорена, если достаточно близки к нулю. Будем искать такое решение, как функцию только одного аргумента

и, следовательно, уравнение (217) примет вид

или

Будем считать, что число а взята настолько близким к нулю, что коэффициент при положителен. В правой части написанного равенства мы получим, разлагая по формуле прогрессии, степенной ряд без свободного члена с положительными коэффициентами. Последнее уравнение может быть записано в виде

где - степенной ряд без свободного члена с положительными коэффициентами. Решая относительно , получим уравнение первого порядка

причем радикал надо считать равным единице при Разлагая по биному Ньютона, мы получим

и все коэффициенты при степенях оказываются положительными. Переразлагая по степеням z и мы получим в правой части уравнения (219) степенной ряд с положительными коэффициентами и без свободного члена и придем к уравнению первого порядка

Мы уже имели теорему о существовании регулярного решения такого уравнения, удовлетворяющего начальному условию . Это решение будет представляться рядом

все коэффициенты которого положительны. Если в написанном разложении пбдетавить то получим решение уравнения (217), представимое степенным рядом с положительными коэффициентами. Это решение будет удовлетворять, при некоторому начальному условию (218), где степенной ряд с положительными коэффициентами. В силу сказанного выше, построение такого решения уравнения (216) доводит до конца доказательство существования решения задачи Коши. Приведенное доказательство принадлежит Гурса. Сама теорема называется обычно теоремой Ковалевской, так как впервые в законченной форме ее доказательство было дано С. В. Ковалевской.

Из приведенного выше доказательства следует, что радиусы тех кругов для переменных , внутри которых установлена сходимость ряда (216), дающего решения задачи (211), (212), зависят лишь от радиусов сходимости правой части уравнения (213) и максимума модуля М этой правой части, но не зависят от конкретного вида функции Для (205), (207) присоединяется еще зависимость от радиусов сходимости и максимума модуля функции входящей в условие (207). Аналогичное замечание имеет место и для результатов следующего параграфа.