160. Обобщенные потенциалы простого и двойного слоя в одномерном случае.

В [152] мы изложили решение предельной задачи в полуполосе, ограниченной снизу характеристикой уравнения (5), а сбоку прямыми Рассмотрим теперь область на плоскости которая ограничена

снизу характеристикой , а сбоку — двумя линиями h с явным уравнением (рис. 16):

причем имеют непрерывные производные при . Для решения задачи в такой области нам надо построить обобщенные потенциалы простого и двойного слоя, которые при обращаются в потенциалы, указанные в [152]. Эти обобщенные потенциалы имеют вид

где непрерывные функции.

Функции имеют непрерывные производные и удовлетворяют уравнению (5) везде вне линии Оба потен циала имеют смысл и в том случае, когда точка находится на линии U. Для потенциала это непосредственно очевидно, так как подынтегральная функция имеет оценку где С — постоянная. Для потенциала если точка находится на U, мы можем написать:

откуда и следует сходимость интеграла (95).

Рис. 16.

Величина интеграла (94) по малому участку: стремится к нулю при при любом положении точки и отсюда непосредственно следует, что непрерывна вплоть до . Для интеграла (95) существуют различные пределы при стремлении к точке лежащей на а именно:

где значение интеграла (95) в самой точке знак надо брать, если справа от и знак

(—), если слева от Если то очевидно, что и мы получаем результат из [152). При доказательстве формулы (96) мы не будем писать знак i. Рассмотрим интеграл (95) при

и функцию

Вводя вместо новую переменную интегрирования

получим

причем в верхнем пределе надо брать знак если и знак (—), если . Если точка лежит на , то

Из определения непосредственно следует, как и выше, что непрерывна вплоть до . Из (90) следует

в, вычитая почленно формулу (100) из последней формулы, получим

т. е.

А мы получили формулу (96) при .

Переходим к общему случаю. Перепишем выражение в виде

Совершенно так же, как и в [95], достаточно показать, что первое слагаемое сохраняет непрерывность, когда точка пересекает в точке . Пусть — заданное положительное число. Выберем положительное настолько малым, чтобы имело место неравенство

и разобьем промежуток интегрирования части Функция, которая выражается интегралом по первому из этих промежутков, непрерывна в точке и достаточно показать, что интеграл

достаточно мал при всех положениях точки если она достаточно близка к точке или совпадает с ней. Указанный интеграл по абсолютной величине не превосходит

Предположим, что разность меняет знак не больше чем k раз, где k — определенное целое положительное число» при и произвольном положении (х, t) в некоторой окрестности При этом интеграл

представится как сумма не более чем к интегралов вида

которые отличаются от интегралов

которая по абсолютной величине не превышает некоторой постоянной. Таким образом, упомянутый выше интеграл остается ограниченным, когда находится в некоторой окрестности . Этот интеграл умножается на , и тем самым доказательство того, что первое слагаемое правой части формулы (101) непрерывно, когда пересекает l в точке доводится до конца совершенно так же, как и в [95]. Пользуясь указанными выше потенциалами, можно привести предельную задачу для области, указанной на рис. 16, к интегральному уравнению, как это мы делали в [152]. Положим, что условия таковы: на характеристике на Будем искать решение в виде

При этом для всяких удовлетворяется уравнение (5) и предельное условие на характеристике , а из предельных условий на получаем систему интегральных уравнений Вольтерра для

Рассмотрим интегралы, входящие в первое уравнение:

В интеграле (104) полярность при снижается за счет числителя отношения

совершенно так же, как это было отмечено нами выше. Во втором интеграле показатель при стремится к и это полностью снимает полярность. Аналогично рассматриваются интегралы и для второго из уравнений (103). Таким образом, система (103) имеет единственное решение и может быть решена методом последовательных приближений.

Можно искать решение указанной выше предельной задачи и в виде суммы двух потенциалов простого слоя:

При этом мы приходим к системе интегральных уравнений первого рода:

Умножим обе части на и проинтегрируем по t от до

где

причем справа мы изменили порядок интегрирования и воспользовались формулой Дирихле [II; 82]. Система (108) эквивалентна (107) (ср. [II, 82]). Мы

имеем, очевидно,

и, принимая во внимание формулу [II; 79]

мы получаем

Дифференцируец систему (108) по причем мы считаем, что имеют непрерывны производные, и при этом функции имеют также непрерывные производные [II; 83]:

Для вычисления производных представим в виде

Интегрируя по частям и дифференцируя по у, получим

При сходимость интеграла на пределе обеспечивается показательной функцией, а при дробь, стоящая в фигурных скобках, не имеет полярности и вся фигурная скобка стремится к нулю, как . Учитывая все и производя элементарные оценки подынтегральной функции при нетрудно убедиться, что интегралы мажорируются функцией

где — некоторая постоянная. Отсюда видно, что

где непрерывные функции и к системе применим метод последовательных приближений .