§ 3. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПОВ

151. Зависимость решений уравнения теплопроводности от начального и предельного условий и свободного члена.

Мы установили раньше теорему единственности для уравнения теплопроводности, причем это доказательство было основано на теореме, которая утверждала, что наибольшее и наименьшее значения решения однородного уравнения теплопроводности достигаются или при или на границе области.

Доказательство этой теоремы проводилось для одномерного случая Совершенно аналогично можно провести доказательство и в многомерном случае.

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение теплопроводности в области В на плоскости

с начальным и предельным условиями

где контур В. Функцию f мы считаем непрерывной в замкнутой области В при . Аналогичным образом считается непрерывной в Б и на при t Представим себе в простран

стве цилиндр D, основание которого есть область В на плоскости и образующие которого параллельны оси t. Пусть часть этого цилиндра, ограниченная снизу плоскостью и сверху плоскостью Обозначим через S нижнее основание и боковую поверхность Пользуясь рассуждениями, аналогичными тем, которые мы применяли в [II; 219], легко доказать теорему.

Теорема 1. Если и удовлетворяет уравнению (1) внутри D и непрерывна вплоть до S, и если в то наименьшее значение и в достигается на S. Если же в , то наибольшее значение и достигается на S.

Приведем коротко доказательство этой теоремы. Рассмотрим только случай и будем доказывать от обратного. Пусть наибольшее значение и достигается не на S, а в некоторой точке и равно М. Введем новую функцию:

где k — положительное число, которое мы сейчас определим,

Мы имеем в

и можно фиксировать k настолько близким к нулю, чтобы наибольшее значение v на S было, как и для и, меньше, чем значение и в точке . При таком выборе k функция v будет достигать наибольшего значения или внутри DT или внутри верхней границы Приведем оба эти случая к противоречию.

Пусть v достигает наибольшего значения в некоторой точке внутри . В этой точке v имеет максимум и, следовательно,

откуда следует или, в силу в точке С, а это противоречит тому, что в точке С должно удовлетворяться уравнение и . Положим теперь, что v достигает наибольшего значения в точке С, находящейся внутри основания . В этой точке должны быть и, рассматривая изменения v вдоль верхней границы, получим: в точке С. Это приводит нас к противоречию совершенно так же, как и выше, и теорема доказана. Пользуясь доказанной теоремой, легко установить еще и такую теорему:

Теорема 2. Если удовлетворяют условиям а на нижнем основании на боковой поверхности и

Рассмотрим функцию

которая удовлетворяет уравнению

и следующим условиям:

Принимая во внимание условие теоремы и тот факт, что на боковой поверхности можем утверждать, что

Из теоремы 1 следует при этом, что наибольшее значение v до стигается на S, и, следовательно, в Принимая во внимание, что второе слагаемое правой части формулы (4) неотрицательно, можем утверждать, что Аналогично, вводя функцию

мы докажем, что , откуда и следует, что Теорема 2 дает оценку решения уравнения (1) через оценку свободного члена f и функций, входящих в начальное и предельное условия.

Аналогично доказывается теорема и в случае любого числа пространственных переменных.