116. Метод Шварца (продолжение).

Мы рассмотрели применение метода Шварца в простейшем случае взаимного расположения областей . Контуры этих областей могут пересекаться более чем в двух точках (рис. 11), могут иметь общие части (рис. 12).

Рис. 11

Рис. 12.

Рис. 13.

Может случиться, что односвязны, а их сумма многосвязна (рис. 13). На рис. 11 контур области есть линия CDEFGHJКС. На рис. 12 ломаная CDE есть общая часть контуров, и на рис. 13 заштрихованные области являются общей частью областей Во всех случаях построение последовательных приближений в методе Шварца будет буквально таким же, что и выше. Несколько видоизменяя метод вычисления, мы, умея решать задачу Дирихле для .

сможем получить решение не для суммы этих областей, а для области, которая является общей частью областей . В случае рис. 8 это будет область, ограниченная контуром На этом контуре нам заданы предельные значения

Мы будем искать по этим предельным значениям гармоническую функцию в виде суммы

где гармоническая в гармоническая в Такое разбиение искомой функции на два слагаемых, очевидно, не однозначно, что несущественно при дальнейшем построении. Продолжим каким-нибудь образом заданные на значения функции на дугу так, чтобы получалась непрерывная функция, и это продолжение обозначим через

Построим последовательные приближения для как решения задач Дирихле при следующих предельных условиях:

При этом заметим, что разность равна нулю в точках . Для вычисления следующих приближений полагаем

Процесс будет сходящимся, и сумма (159) будет давать решение задачи.

Подробное изложение указанного метода можно найти в книге: Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. — М.: Физматгиз, 1962, где этот метод применяется не только для уравнения Лапласа, но и для других уравнений эллиптического типа. Этот метод применим и для трехмерного случая.

Укажем еще на одну возможность применения метода Шварца. Нам придется сейчас иметь дело с решением внешней задачи Дирихле и, в связи с этим, мы будем рассматривать не плоский случай, а случай трехмерного пространства. Пусть в пространстве имеется замкнутых поверхностей причем тела, ограниченные ими, не имеют общих точек. Обозначим через D часть пространства, находящуюся вне всех поверхностей и через часть пространства, находящуюся вне . Положим, что мы умеем решить задачу Дирихле для всех при любых непрерывных значениях на и покажем,

каким образом можно при этом решить задачу Дирихле для D. Все области и область D содержат внутри себя бесконечно далекую точку и, как обычно, при решении задачи Дирихле считается, что гармоническая функция равна нулю на бесконечности.

Итак, требуется найти функцию, гармоническую, внутри D и принимающую на поверхностях заданные непрерывные значения:

На первом шаге находим при каждом k функции — гармонические внутри и принимающие значения на S. Далее находим функции , гармонические внутри с предельными значениями:

причем суммирование производится по всем i от до кроме .

Вообще при всяком целом положительном находим функции , гармонические внутри с предельными значениями

Функции

гармонические внутри с предельными значениями на .

Вычитая из обеих частей сумму

можем переписать предыдущее равенство в виде

Если мы докажем, что при беспредельном возрастании все функции стремятся равномерно в замкнутой области D к нулю, то из (163) будет следовать, что

гармоническая внутри D и непрерывная вплоть до границы функция

при беспредельном возрастании и дает решение задачи рихле для области D с предельными значениями на

Переходим к выяснению условий, при которых функции стремятся к нулю равномерно в замкнутой области D. Обозначим через функцию, гармоническую внутри и равную 1 на S. При этом внутри и, в силу того, что при беспредельном удалении точки М, существует такая постоянная удовлетворяющая условию что

Если какие-нибудь функции, гармонические внутри непрерывные вплоть до и удовлетворяющие условию

где постоянные, то будут гармоническими внутри и неотрицательными на откуда следует, что в замкнутой области Не меняя условия (166), мы можем переменить знак у гармонической функции и, таким образом, можем считать, что в рассматриваемой точке М. Таким образом, из предыдущих рассуждений следует, что

откуда, в силу (165),

Это неравенство является, таким образом, следствием (166). Пусть а — такое положительное число, что при и q — наибольшее из чисел причем, очевидно, . В силу (160) мы имеем а на . В силу (161) и (168) мы имеем далее на . Применяя далее (162) при и пользуясь опять (168), получим на и, вообще, на и, следовательно,

Если число поверхностей то отсюда следует, при равномерно тем более равномерно в замкнутой области В. Если , то мы получаем следующее достаточное условие того, что

Число q, по самому его построению, не зависит от предельных условий и определяется только областью D. Мы могли бы совершенно так же рассмотреть и тот случай, когда область D есть конечная область, имеющая внешнюю границу и внутренние границй . При этом для области ограниченной поверхностью мы имели бы внутреннюю задачу Дирихле, а для областей как и выше, внешнюю задачу. Указанное выше построение принадлежит Г. М. Голуз и ну (Матем. сб., 1934, 41, № 2). Оно неприменимо в плоском случае, как в этом нетрудно убедиться, задавая постоянные значения на отдельных замкнутых контурах .