33. Задача Коши.

Мы видели выше [29], что для уравнения второго порядка

данные Коши, в частном случае, могут состоять в задании функции и и ее производной при начальном значении

Будем называть такие данные специальными данными Коили. Эти начальные условия сводятся к тому, что вдоль линии плоскости задается значение искомой функции и ее частной производной . Отметим при этом, что значения другой частной производной первого порядка непосредственно получаются из первого из условий (21). Таким образом, согласно начальным данным, мы будем знать вдоль линии самую функцию и ее обе частные производные первого порядка. Нетрудно представить себе более общие данные Коши. Пусть на плоскости имеется некоторая линия X, не пересекающая сама себя, и положим, что вдоль этой линии нам заданы значения искомой функции и. Тем самым мы будем знать вдоль линии X и производную от и по направлению, касательному к линии X. Для того, чтобы знать производную первого порядка по любому направлению, мы должны иметь еще одно данное вдоль линии X, а именно нам должно быть задано вдоль линии X значение производной от функции и по любому направлению, отличному от направления, касательного к X. Имея производные по двум направлениям плоскости вдоль линии X, мы будем знать и производную по любому направлению в этой плоскости вдоль X. Таким образом, в рассматриваемом случае вдоль линии X нам должны быть заданы значения самой функции и ее производной по любому направлению, не касательному к X. Задание значений и вдоль линии X плоскости приводит нас к некоторой линии в трехмерном пространстве . Кроме того, нам известны вдоль X частные производные и q. Таким образом, окончательно данные Коши сводятся к заданию некоторой линии трехмерного пространства и к заданию вдоль этой линии положения касательной плоскости. Пользуясь параметрическим представлением, мы можем изобразить эти общие данные Коши в следующем виде: заданы пять функций от одного параметра

которые должны удовлетворять соотношению

Последнее соотношение сводится к тому требованию, чтобы задание обеих частных производных и q вдоль Я не противоречило заданию самой функции и вдоль X, т. е. чтобы производная в направлении, касательном вычисленная на основании данных и q, имела бы те же самые значения, которые получаются в силу задания самой функции и вдоль Пять функций (22), удовлетворяющих соотношению (23), определяют полосу в трехмерном пространстве , и задача Коши состоит в разыскании интегральной поверхности уравнения (20), содержащей заданную полосу.

Аналогичным образом ставится в общем случае задача Коши и для функций от любого числа независимых переменных. Рассмотрим, например, уравнение второго порядка с тремя независимыми переменными

Начальные данные Коши сводятся в данном случае к заданию функции и и ее частных производных первого порядка на некоторой поверхности S трехмерного пространства . Раз заданы значения самой функции и на поверхности S, то для определения всех ее частных производных первого порядка вдоль S достаточно задать вдоль S производную по любому направленно, не лежащему лишь в касательной плоскости к поверхности S. Если поверхность S, несущая начальные данные Коши, есть плоскость то мы имеем специальную форму начальных данных Коши

В параметрической форме указанная выше задача Коши сводится к заданию семи функций от двух параметров

причем должно быть выполнено условие

Задание функций сводится к заданию поверхности, а остальные данные — к заданию функции u и частных производных первого порядка вдоль этой поверхности. Данные (26), удовлетворяющие условию (27), называют обычно полосой

или — более точно — полосой первого порядка в четырехмерном пространстве , и задача Коши состоит в определении интегральной поверхности уравнения (24), содержащей заданную полосу. В случае функции и от независимых переменных полоса задается в виде функций от параметров

причем эти функции должны удовлетворять соотношению

Если одной из независимых переменных является время t, и поверхность, несущая начальные данные Коши, есть плоскость то мы имеем обычную задачу математической физики интегрирования данного уравнения при заданных начальных условиях [II; 176].

Начальные данные Коши определяют функцию и и все ее частные производные первого порядка на той линии или поверхности, которая несет на себе начальные данные. Если мы к начальным данным присоединим еще само дифференциальное уравнение, то, как мы видели в [29], в случае специальных данных Коши мы сможем однозначно определять на указанной линии или поверхности и все производные второго порядка от искомой функции. Мы будем называть данную полосу характеристической полосой, если данная полоса вместе с самим дифференциальным уравнением не приводит к однозначному определению производных второго порядка. В следующем параграфе мы выясним этот вопрос подробно для случая квазилинейного уравнения с двумя независимыми переменными.