147. Некоторые сведения о гильбертовых пространствах и операторах, действующих в них.

Ранее мы имели дело с конкретными гильбертовыми пространствами — пространствами Всех их объединяют некоторые общие им свойства, которые положены в основу определения абстрактного полного сепарабельного гильбертова пространства .

Приведем здесь краткую формулировку аксиом, определяющих комплексное гильбертово пространство , а также некоторые их следствия (более подробно см. [V; гл. V]). Прежде всего, есть линейное множество, т. е. его элементы можно умножать на комплексные числа а, и складывать, и эти операции обладают теми же свойствами коммутативности и ассоциативности, что и в случае комплексного -мерного векторного пространства

Во-вторых, для любого целого положительного существует m линейно независимых элементов. Наконец, каждой паре элементов из Н сопоставляется комплексное число, называемое скалярным произведением. Оно обозначается символом Это скалярное произведение должно обладать следую щи свойствами:

По определяется положительное число, называемое нормой элемента u, а именно: Она равна нулю лишь для нулевого элемента Н (который мы обозначаем просто через 0). В соответствии с этим вводится понятие сходимости: последовательность сходится к элементу и, если Последовательность называется сходящейся в себе, или последовательностью Коши, если при k и , стремящихся к бесконечности.

Пространство Н называется полным, если для любой последовательности Коши существует элемент и, к которому она сходится. Наконец, Н называется сепарабельным пространством, если существует счетное множество элементов плотное в . Последнее означает, что для любого элемента и любого найдется такой элемент что . Если Н обладает всеми перечисленными свойствами, то оно называется полным, сепарабельным, комплексным гильбертовым пространством. Часто свойства полноты и сепарабельности включаются в понятие гильбертова пространства и в дальнейшем не оговариваются особо. Мы также не будем указывать их отдельно, считая, что оба эти свойства выполнены.

Если в качестве берутся лишь вещественные числа, то скалярное произведение также должно быть вещественным, и в равенствах (455) комплексного сопряжения нет. В этом случае говорят о вещественном гильбертовом пространстве

Доказывается, что в абстрактном гильбертовом пространстве Н существует ортонормированный базис, т. е. такая

система элементов что и любой элемент представим рядом сходящимся к нему в норме пространства Н. Отсюда следует, что . Число таких базисов неограничено. Но, выбрав одна такой базис, можно построить изоморфизм между двумя произвольными комплексными гильбертовыми пространствами в том числе между Н и комплексным гильбертовым пространством . Элементами 1% являются числовые последовательности комплексных чисел удовлетворяющие лишь условию

Операции умножения на число и сложения определяются так: а скалярное произведение равенством .

Указанный выше изоморфизм строится так: элементу сопоставляется набор его коэффициентов по выбранному в Н ортонормированному базису Нетрудно понять, что при этом

Благодаря этому с абстрактной точки зрения все гильбертовы пространства (имеются ввиду лишь полные сепарабельные пространства) устроены одинаково, и факты, доказанные для одного из них, могут быть переформулированы для другого Пространства, указанные в начале данного пункта, изоморфны вещественному пространству I% а тем самым и друг другу. Поэтому многое из того, что было доказано для пространства оказывается справедливым и для других пространств. Например, неравенство Буняковского — Шварца есть простое следствие аксиом (455). Для случая абстрактного пространства Н оно имеет вид Однако мы не будем использовать наличие изоморфизма между интересующими нас конкретными функциональными пространствами, ибо извлекаемые из этого факты мало наглядны, и к тому же мы не доказали еще, что пространства с целыми l сепарабельные. Сепарабельность будет следовать из предложений пункта [150]. Ее нетрудно доказать для всех пространств из более простых и общих соображений, что и сделано в [V; гл. IV].

В данном гильбертовом пространстве Н можно ввести новую гильбертову структуру (т. е. иное скалярное произведение) так, чтобы оно оставалось при этом снова полным пространством. Для этого надо, чтобы новая норма , соответствующая

новому скалярному произведению была эквивалентна исходной норме . Эквивалентность норм означает существование таких двух положительных констант что для всех элементов справедливы неравенства

Ясно, что если последовательность элементов сходится в норме то она сходится и в норме и наоборот. Это гарантирует полноту и по отношению к сходимости в новой норме. Если было сепарабельным, то и порожденное им новое гильбертово пространство будет сепарабельным.

Одним из основных объектов изучения в гильбертовых пространствах являются линейные операторы. Оператор А называется линейным ограниченный оператором в , если он отображает в , причем , и существует такое положительное число С, что для всех элементов выполняется неравенство

Нижняя грань всех таких С называется нормой оператора А и обозначается через

Докажем справедливость простого предложения, с которым мы, по сути дела, встречались не раз для конкретных функциональных пространств и конкретных операторов, действующих в них.

Лемма 1. Пусть А есть линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве , и его норма Тогда уравнение

однозначно разрешимо в при любом

Для нахождения решения уравнения (456) используем метод последовательных приближений в его простейшей форме, а именно: пусть Легко видеть, что

Отсюда и из условия следует, что есть последовательность Коши в пространстве Н, а так как Н полное, то в Н существует элемент к которому сходится эта последовательность. В силу ограниченности А элементы сходятся

к , и потому и будет решением уравнения (456). Если бы (456) имело два разных решений , то их разность w удовлетворяла бы уравнению . Но это невозможно, ибо . Тем самым лемма доказана.

Замечание. доказано аналогичное предложение для нелинейных сжимающих преобразований, из которого вытекает лемма 1.

В дальнейшем нам придется иметь дело с линейными неограниченными операторами, действующими в пространстве . В абстрактном гильбертовом пространстве изучаются различные классы таких операторов. В большинстве случаев предполагается, что линейный неограниченный оператор А задан на некотором линейном множестве, плотном в . Это множество называют областью определения А и обозначают . Так, например, дифференциальный оператор L из (402) даже при гладких коэффициентах будет неограниченным в пространстве . В качестве области его определения можно взять множество или множество если для L выполнены условия (413) и (433). Оба они плотны в Абстрактные операторы , сопоставляемые L указанием области определения L, обладают разными свойствами, и потому их надо различать. В дальнейшем, имея в виду задачу Дирихле, мы будем считать, что Ради упрощения записи обычно не вводят специального обозначения для оператора, порождаемого конкретным дифференциальным оператором L, но четко указывают область его определения (за этим оператором сохраняют символ ).

Нам потребуется в следующем пункте еще одно понятие, связанное с линейными операторами, а именно, понятие ограниченного линейного оператора , действующего из одного гильбертова пространства в другое гильбертово пространство . Такой оператор определен на всем , и его значения лежат в он дистрибутивен, т. е. , и существует такая константа что для любых элементов и из справедливо неравенство

где есть норма в норма в . Нижняя грань таких чисел называется нормой оператора , и ее чаще всего обозначают также без явного указания пространств это не вызывает недоразумений). В соответствии с этим определением дифференциальный оператор L из (402) будет ограниченным линейным оператором, действующим из пространства в пространство если коэффициенты L удовлетворяют условиям (413), (433). Не вводя и в

этом случае специального символа для оператора L, мы будем четко указывать, какая область определения и область значений оператора L имеется в виду.