96. Свойства потенциала простого слоя.
Потенциал простого слоя
является несобственным интегралом, если М лежит на S. Пусть М совпадает с точкой 
лежащей на S. Покажем, что несобственный интеграл (44) имеет при этом смысл. Как и в [95], достаточно рассмотреть его на участке сто поверхности S, содержащем 
внутри себя. Для 
пользуемся уравнением (4) в местных координатах. Мы имеем
В силу (15), (22) и 
получаем следующую оценку подынтегральной функции:
откуда непосредственно следует сходимость интеграла (44), когда М лежи 
на S. Таким образом, формула (44) определяет 
при любом положении точки М. Функция 
нелрерывна в точках М, находящихся вне S. Покажем, что 
непрерывна и в любой точке 
, лежащей на S. Пусть 
— заданное положительное число и 
часть S, определяемая неравенством (17). Покажем, что можно выбрать 
настолько малым, чтобы при любом положении М, в некоторой окрестности 
выполнялось неравенство
Мы имеем
где 
круг с центром 
и радиусом 
и 
-длина проекции 
отрезка MN на касательную плоскость. Положим, что М находится внутри шара с центром 
и радиусом 
. При этом 
принадлежит кругу 
и если мы на плоскости 
возьмем круг а с центром 
и радиусом 
то он будет содержать весь круг так что, в силу (46),
Остается фиксировать 
так, чтобы имело место неравенство и мы получаем оценку (45) при любом положении
М в шаре с центром 
и радиусом 
. Далее представляем функцию (44) в виде
где
причем 
непрерывна в точке 
и доказательство непрерывности 
в точке 
проводится совершенно так же, как и в [95] для функции (29). Мы имеем, таким образом, следующий результат: потенциал простого слоя (44) определен во всем пространстве и является непрерывной во всем пространстве функцией. Совершенно так же, как и в [95], можно показать, что 
при беспредельном удалении точки М.
