Главная > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

70. Сильные разрывы в теории упругости.

Мы рассматривали раньше возрос о сильных разрывах для решений одного уравнения [44]. Приведем теперь с точки зрения теории сильных разрывов исследование уравнений теории упругости.

Мы ограничимся при этом рассмотрением плоского случая. Пусть — составляющие вектора смещения на плоскости и X, Y — составляющие объемной силы. Обозначая, как всегда, через составляющие тензора напряжений, мы будем иметь следующие два основных уравнения теории упругости.

К этим уравнениям надо добавить еще связь между тензором напряжений и тензором деформации (закон Гука):

Подставляя последние выражения в уравнения (58), получим уравнения теории упругости, выраженные через вектор смещения

В дальнейшем под мы можем подразумевать любые две функции от имеющие непрерывные производные до второго порядка. При этом уравнения (58) дадут нам величины X и Y, соответствующие взятым функциям Введем еще два линейных оператора, содержащих производные первого порядка от функций

Рассмотрим две пары функций и пусть тхуу значения величин (584) и X, Y, соответствующие паре функций Мы имеем, таким образом,

Пользуясь этими выражениями и применяя обычную формулу Остроградского, мы получим следующий аналог формулы Грина:

где D, как и выше, — некоторая область в пространстве ограничивающая ее поверхность и — направление внешней нормали к . Указанная выше формула была впервые дана Вольтерра. Отметим, что под мы разумеем просто выражения, стоящие в первых частях формул (58) и аналогично для . При выводе формулы (60) предполагается, конечно, что функции имеют в области D непрерывные производные до второго порядка.

Переходим теперь к рассмотрению тою случая, когда производные первого порядка функций имеют разрывы Пусть область D рассечена поверхностью а на две части и положим, что на поверхности о первые производные функций имеют разрывы, удовлетворяющие указанным в [441 кинематическим условиям совместности Положим, кроме того, что выражения (59) остаются непрерывными при переходе через поверхность а. В дальнейшем мы выясним механический смысл этих динамических условий совместности Совершенно так же, как и в [44], мы можем утверждать, что формула (60) будет иметь место для всего объема D, если удовлетворяют указанным выше условиям прерывности, а любые функции с непрерывными производными до второго порядка.

Выясним следствия из указанных выше условий. Как и в [44], мы можем утверждать, что векторы должны оставаться непрерывными при переходе через а. Если мы выпишем составляющие этих векторов, то получим шесть выражений, которые должны оставаться непрерывными при переходе через о Добавив еще выражения (59) которые мы преобразуем, подставив в них вместо составляющих тензора напряжений их выражения по формулам (584), мы будем иметь следующие восемь выражений которые должны оставаться непрерывными при переходе через о:

Будем рассматривать написанные уравнения как восемь уравнений относительно шести производных первого порядка от функций . Если бы таблица коэффициентов этих уравнений содержала хоть один определитель шестого порядка, отличный от нуля, то мы могли бы выразить все шесть производных первого порядка от функций и и v через непрерывные функции М и не имели бы разрыва этих производных на . Мы можем, таким образом, утверждать, что все определители шестого порядка упомянутой выше таблицы должны равняться нулю Вычеркивая последние две строки упомянутой таблицы и приравнивая оставшийся определитель нулю, мы получим тождество Рассматривая остальные случаи, мы придем к единственному уравнению

которое и будет выражать тот факт, что упомянутая выше таблица имеет раиг, меньший шести. Пусть уравнение о имеет вид . Написанное зыше уравнение распадается на два уравнения:

и мы видим, таким образом, что поверхность о должна быть характеристической поверхностью уравнений теории упругости [66].

В данном случае мы будем иметь существенную разницу по сравнению с одним волновым уравнением. Кинематические условия совместности, кото сводятся к непрерывности совместно с тем фактом, что о есть характеристическая поверхность, что сводится к уравнению (61), не гарантирует нам еще непрерывности т. е. не гарантирует динамических условий совместности. Выясним те дополнительные условия, при которых мы получаем непрерывность

Возьмем на а некоторую точку , и пусть l — прямая пересечения касательной плоскости к а в точке N с плоскостью проходящей через точку N Выберем эту прямую за ось у. Ось t имеет в точке N фиксированное направление, перпендикулярное к направлению прямой I Тем самым определится и ось Рассмотрим сначала тот случай, когда равен нулю первый из множителей, стоящих в левой части уравнения (61):

что соответствует скорости продольных волн. В силу сделанного выбора оси у, мы имеем в точке и, кроме того, производные остаются непрерывными при переходе через о в точке N. Составим выражение:

Пользуясь (62), можем написать

откуда вытекает, что, в силу кинематических условий совместности и уравнения (62), выражение (63) непрерывно в точке N. При этом оказывается также непрерывным в точке N, а для непрерывности оказывается необходимым и достаточным непрерывность выражения

Кроме того, мы имеем непрерывность выражения

Определитель системы уравнений (64) и (65), равный в силу (62) и отличен от нуля, и, следовательно, непрерывность выражения (64) равносильна непрерывности частных производных Кроме того, мы уже имеем непрерывность частной производной в точке N. Пересечение поверхности о с плоскостью является линией разрыва на плоскости в заданный момент времени, а прямая есть касательная к этой линии в точке N. Величина v есть проекция вектора смещения на направление касательное к линии разрыва Мы показали выше, что все производные первого порядка от v должны быть непрерывными в точке N, т. е. сильный разрыв может испытывать только составляющая и вектора смещения на направление, перпендикулярное к линии разрыва (продольный разрыв). Итак, если выполнены кинематические условия совместности и уравнение (62), то для соблюдения динамических условий совместности необходимо и достаточно, чтобы сильный разрыв имела только составляющая вектора смещения, нормальная к движущейся в плоскости линии разрыва. Совершенно так же можно рассмотреть и уравнение

При этом окажется, что сильный разрыв может испытывать только составляющая вектора смещения на касательную к линии разрыва.

Положим, что поле смещений потенциально:

откуда следует, что

Выбирая по-прежнему координатные оси, мы будем иметь в точке N непрерывность производных . Но тогда из непрерывности будет еле довать и непрерывность и, таким образом, в случае потенциального поля разрыв может испытывать только составляющая вектора смещения на нормаль к линии разрыва.

Положим теперь, что поле смещений соленоидально, т. е.

При этом мы будем иметь непрерывность производных и их, а следовательно, в силу непрерывности и производной т. е. в соленоидальном поле возможен только разрыв составляющей вектора смещения на касательную к линии разрыва.

Выясним теперь механический смысл изложенной выше теории, а именно мы покажем, что наличие формулы (60) в простейших частных случаях показывает, что закон импульсов оказывается справедливым и для объема, содержащего внутри себя поверхность разрыва. Положим в формуле и . При этом, согласно формулам составляющие тензора напряжений для будут равны нулю и формула (60) приведется к виду

Совершенно так же, если положить то получится формула

За область D возьмем цилиндр, образующие которого параллельны оси и пусть основания этого цилиндра находятся в плоскостях Положим, что внутри этого цилиндра находится поверхность разрыва а. На нижнем и верхнем основаниях имеем На нижнем основании и на верхнем основании боковой поверхности Обозначая через переменное сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его образующим через линию пересечения этой плоскости с боковой поверхностью цилиндра, мы можем переписать формулу (66) в виде

где

или

Первое слагаемое левой части дает импульс объемных сил, приложенных к площадке плоскости за промежуток времени . Второе слагаемое дает импульс сил напряжения, действующих на контуре этой площадки, а разность, стоящая справа, представляет собою приращение количества движения, рассчитанное для этой же площадки, причем как импульс

силы, так и приращение количества движения спроектированы на ось Совершенно так же формула (67) даст нам аналогичное соотношение для про екций импульса силы и приращения количества движения на ось у Таким образом, мы действительно получаем для объема D, содержащего поверх ность разрыва, закон импульса.

1
Оглавление
email@scask.ru