103. Последовательности гармонических функций.

Прежде чем переходить к решению предельных задач для уравнения Лапласа при помощи потенциалов простого и двойного слоя, мы установим некоторые свойства гармонических функций в дополнение к тем, которые мы имели раньше. Рассмотрим последовательности гармонических функций или, что то же, ряды, члены которых — гармонические функции. Мы будем проводить все доказательства в случае плоскости. Для трехмерного пространства они буквально такие же. Достаточно только вместо формулы Пуассона применить формулу, дающую решение задачи Дирихле для сферы.

Основная теорема о равномерно сходящихся рядах гармонических функций чрезвычайно похожа на аналогичную теорему из теории регулярных функций комплексного переменного

Если члены ряда

гармонические функции внутри ограниченной области В и непрерывные функции в замкнутой области В, и ряд равномерно сходится на контуре I этой области, то он равномерно сходится во всей замкнутой области и сумма ряда есть гармоническая функция внутри В.

Пусть — наперед заданное положительное число. Ввиду равномерной сходимости на контуре l существует такое N, что при всяком N и любом положительном имеет место неравенство

Написанная конечная сумма гармонических функций будет гармонической функцией внутри В и непрерывной в замкнутой области и, в силу основного свойства гармонических функций относительно достижения экстремумов на контуре [II; 204], мы можем утверждать, что раз написанное неравенство соблюдено на контуре, то тем более оно соблюдено и во всех внутренних точках, т. е., иначе говоря, оно соблюдено и во всей замкнутой области, что и дает равномерную сходимость ряда (100) во всей замкнутой области. Таким образом, сумма ряда (100) есть непрерывная функция в замкнутой области. Докажем, что она будет гармонической виутри области. Пусть любая точка внутри В. Опишем круг с центром и таким радиусом R, чтобы весь этот круг лежал внутри В. Обозначим через сумму первых членов ряда (100). Эта конечная сумма будет гармонической функцией, и ее значения внутри круга 20 будут выражаться через ее значения на окружности этого круга по формуле Пуассона:

где - полярные координаты точки если точка принята за начало координат. На окружности упомянутого круга равномерно по отношению к и мы имеем, переходя к пределу,

т. е. внутри упомянутого круга сумма ряда (100) выражается интегралом Пуассона и является, следовательно, гармонической функцией. Напомним, что точка была любой точкой внутри В. Заметим, что совершенно так же мы могли бы доказать, что ряд (100) можно внутри В дифференцировать по переменным сколько угодно раз. Действительно, из формулы Пуассона непосредственно вытекает:

Умножая обе части ряда (100) на

и интегрируя по окружности упомянутого круга, мы будем иметь

Доказанную теорему можно, конечно, формулировать и в терминах последовательности гармонических функций, а именно: если последовательность функций, гармонических внутри В и непрерывных в замкнутой области В, равномерно стремится к предельной функции на контуре то она равномерно стремится к предельной функции во всей замкнутой области В. Предельная функция будет гармонической внутри , а внутри В последовательность можно дифференцировать сколько угодно раз.

Докажем еще одну теорему, относящуюся к тому частному случаю, когда члены ряда (100) суть положительные функции. Предварительно выясним одно следствие формулы Пуассона. Функция гармоническая внутри круга с центром Мо и непрерывная в замкнутом круге, выражается в этом круге по формуле Пуассона:

Положим, кроме того, что эта функция положительна. Учитывая, что мы можем написать неравенство

и из формулы Пуассона непосредственно следует:

или, принимая во внимание теорему о среднем

Эта оценка значений положительной гармонической функции в произвольной точке внутри круга через ее значение в центре круга называется обычно неравенством Гарнака. Пользуясь этим неравенством, мы можем доказать следующую теорему:

Если имеется возрастающая последовательность функций, гармонических внутри В, и если эта последовательность имеет конечный предел в какой-либо одной точке лежащей внутри В, то она сходится везде внутри В и притом равномерно во всякой замкнутой области которая вместе со своим контуром лежит внутри В.

По условию теоремы мы имеем внутри . В силу сходимости последовательности в точке при любом заданном положительном существует такое N, что

при и любом положительном . Пусть круг с центром и радиусом лежащий внутри В. Принимая во внимание, что написанная выше разность представляет собою положительную гармоническую функцию, мы можем написать

где М — произвольная точка внутри упомянутого круга и — расстояние от М до . Взяв круг с центром и радиусом (R — а), где а — любое малое заданное положительное число, мы получаем в круге оценку:

откуда вытекает равномерная сходимость в круге . Взяв некоторую точку внутри круга и имея в ней сходимость последовательности, мы при помощи вышеуказанных рассуждений получим равномерную сходимость внутри круга с центром в этой точке, лежащего внутри В. Продолжая так и дальше, мы совершенно так же, как это делали при аналитическом продолжении, можем доказать равномерную сходимость последовательности во всяком замкнутом круге, лежащем внутри В. Всякую замкнутую область которая вместе со своим контуром лежит внутри В, мы можем покрыть конечным числом кругов, лежащих внутри В, и это дает нам равномерную сходимость последовательности в такой области Заметим еще, что из равномерной сходимости последовательности вытекает, в силу предыдущей теоремы, и тот факт, что предельная функция последовательности будет гармонической функцией внутри В.

Доказанную теорему можно формулировать и в терминах рядов, а именно: пусть члены ряда (100) — гармонические функции внутри В и притом положительные, начиная с. некоторого номера n. Если ряд сходится в некоторой точке внутри В, то он сходится во всех точках внутри В, и равномерно во всякой

замкнутой области которая вместе со своим контуром лежит внутри В. В предыдущей теореме вместо возрастающей последе зательности мы могли бы, конечно, брать убывающую последовательность и соответственно — вместо положительных функций могли бы брать отрицательные функции