1.5. Подход с точки зрения теории рассеяния

1.5.1. Интегральная форма волнового уравнения

Для простоты будем рассматривать опять-таки лишь скалярную волну, пренебрегая теми сложностями, которые возникают при рассмотрении векторных величин, т.е. будем иметь дело с теорией рассеяния, развитой для рассеяния частиц потенциальным полем (см., например, [398]).

Волновое уравнение (1.5) можно записать следующим образом:

где волновое число для падающей волны в свободном пространстве, а [а — параметр, определяющий силу взаимодействия с потенциальным полем.

В случае теории рассеяния наиболее удобной альтернативой уравнения (16) будет эквивалентное интегральное уравнение, которое можно записать, используя функцию Грина Для

Фиг. 1.2. Определение расстояний в задачах рассеяния.

излучения, рассеянного потенциальным полем, представляет собой амплитуду в точке наблюдения (фиг. 1.2), возникшую за счет наличия некой точки в поле рассеяния, где рассеивающая способность равна единице; тогда

где -волна, падающая на поле рассеяния, а интеграл представляет собой рассеянное излучение. Соответствующая форма функции Грина имеет вид

Таким образом, уравнение (1.17) можно сравнить с уравнением (1.15), полученным из интеграла Кирхгофа. Его можно интерпретировать как выражение, показывающее, что каждая точка поля рассеяния дает сферическую волну (1.18), а амплитуда этой волны зависит от величины рассеивающего потенциала и от волновой функции Можно было бы получить точный трехмерный эквивалент выражения (1.15), если бы мы могли сказать, что амплитуда рассеянной волны пропорциональна амплитуде падающей волны Однако, вообще говоря, это невозможно, поскольку рассеянное излучение само дает вклад в значение волновой функции Следовательно, получаем интегральное уравнение, решать которое гораздо труднее.