10.3. Подход Дарвина

Трактовка Дарвина [108] дифракции рентгеновских лучей при отражении от поверхности большого совершенного кристалла включала в себя установление коэффициентов прохождения и отражения для каждой атомной плоскости и затем суммирование амплитуд прошедших и дифрагированных пучков на каждый плоскости. Хови и Уилан [213] применили этот вариант теории к дифракции электронов на прохождение вначале с целью определения контраста в электронно-микроскопических изображениях дефектов. Амплитуды дифракционных пучков рассматриваются как непрерывные функции расстояния вдоль направления пучка и связаны рядом дифференциальных уравнений. По существу это теория для совершенного кристалла, для каждого его слоя, хотя в нее могут быть включены изменения в ориентации дифракционных плоскостей при переходе от одного слоя к другому.

Для простого двухволнового случая соотношение между амплитудами прошедшего и рассеянного пучков соответствующих направлениям падающего и дифрагированного пучков, при распространении в -направлении дается формулами

Другими словами, эти уравнения устанавливают, что изменение амплитуды прошедшего пучка с толщиной определяется рассеянием от пучка с изменением фазы на и рассеивающей способностью, пропорциональной коэффициенту Фурье потенциала Амплитуда дифрагированного пучка модифицируется благодаря рассеянию из прошедшего пучка с изменением фазы, так как волновой вектор проведенный в данную точку обратной решетки, не равен вектору, проведенному в начало обратной решетки но отличается от него на ошибку возбуждения

Поглощение можно учесть, введя комплексные коэффициенты потенциала тогда в уравнениях (10.32) величины заменятся на следовательно, возникнет общее уменьшение обоих пучков, обязанное среднему коэффициенту поглощения,

пропорциональному . Если в основной решетке одна плоскость смещена на вектор то она будет изменять фазу дифрагированного пучка на величину, пропорциональную Таким образом, если смещение есть функция а именно уравнения (10.32) с учетом поглощения примут вид

где

Тогда изменения амплитуд 4% и возрастающие при углублении в кристалл, можно определить, интегрируя (10.33), т. е. находя совокупные последовательные изменения фазы и амплитуд для бесконечно малых приращений

Аналогично первоначальному приближению Дарвина, этот двухволновой вариант сталкивается с трудностью, заключающейся в том, что слой бесконечно малой толщины будет давать одновременно очень большое число пучков и двухволновой случай возникнет лишь после прохождения через кристалл с толщиной, сравнимой с экстинкционным расстоянием и более. Следовательно, в принципе и в случае электронов для практического рассмотрения более уместно использовать n-волновую форму (10.33), которая в матричной записи имеет вид

где вектор-столбец, элементы которого представляют собой амплитуды дифрагированных волн; диагональная матрица, элементы которой даются в (10.34), и А — матрица с элементами

Тогда, как следует из (10.35), изменение любой амплитуды зависит от всех других амплитуд; при этом сила взаимодействий зависит от коэффициентов потенциала и ошибок возбуждения всех пучков, за исключением падающего. Амплитуды всех пучков интегрируются по кристаллу одновременно.

Фиг. 10.3. Иллюстрация взаимодействия сферы Эвальда с плоскостью отражений для г. ц. к. кристалла в трех специальных случаях, где используется метод уменьшения числа пучков.