3.3. Малоугловое приближение
Малоугловое приближение, введенное нами для рассмотрения дифракции Френеля, хотя и является строго ограниченным по своей применимости, тем не менее очень удобно для описания существенных черт поведения систем, дающих изображения. Оно позволяет
Фиг. 3.3. Схема получения изображения, описываемая уравнением (3.11).
создать модель, которая с помощью относительно простого и универсального математического описания воспроизводит все важнейшие особенности оптических систем. Все объекты считают состоящими из плоских распределений с функциями прохождения 
Распространение в среде с постоянным показателем преломления дается сверткой с функцией распространения, которая в малоугловом приближении записывается как 
Введем Понятие идеальной тонкой линзы как плоского объекта с функцией прохождения 
Легко убедиться, что
т.е. если плоская волна с единичной амплитудой проходит через идеальную тонкую линзу, то распространение волны на фокусное расстояние 
дает дельта-функцию, или точечное поперечное сечение. Подобным же образом точечный источник, помещенный на расстоянии 
перед идеальной тонкой линзой, дает плоскую волну
Когда плоская волна проходит через объект с функцией прохождения 
а затем через идеальную линзу (фиг. 3.3), то для одномерного случая и в пренебрежении постоянными множителями амплитуда в плоскости наблюдения в данном приближении будет иметь вид
Здесь выражения в скобках представляют собой последовательно распространение волны на расстояние 
прохождение через линзу и распространение на расстояние 
Записывая подробно интегралы свертки, сразу видим, что если 
то 
и если 
то 
Чтобы доказать второй результат, представим выражение (3.11) с фиктивными переменными 
в явной форме:
Группируя соответствующие экспоненты, имеем 
Тогда если 
то очевидно, что интегрирование по X дает 
а последующее интегрирование по 
приводит к 
где С имеет модуль, равный единице, и вместе с другими подобными членами может быть исключен из функции прохождения.
Доказательство первого результата (когда 
оставим читателю в качестве упражнения.
Таким образом, свойства образования дифракционных картин и изображений воспроизводятся. Очевидно, что действие любой комбинации источников, объекта и линз можно воспроизвести, записав соответствующие ряды операций свертки с функцией распространения и умножения на функцию прохождения. Например, для точечного источника в точке 
на расстоянии 
перед объектом (фиг. 3.3) распределение амплитуды в плоскости наблюдения имеет вид
Оценивая интеграл, можно показать, что дифракционная картина определяется из выражения 
а изображение, как и прежде, — из 
Влияние неполной когерентности падающего излучения на дифракционную картину или на изображение, т. е. освещение объекта некогерентным источником заметной протяженности, учитывается благодаря суммированию интенсивностей для каждой отдельной точки источника. Таким образом, вычисляем интенсивность для точки источника 
которая составит величину 
согласно (3.12), и умножаем на интенсивность точки источника 
Наблюдаемое распределение интенсивности получаем путем интегрирования по 
То, как на изображение влияют ограничения, обусловленные апертурой линзы, определяют и экспериментально, и теоретически, помещая апертуру в задней фокальной плоскости с тем, чтобы умножить дифракционную картину на функцию прохождения апертуры. Результат при этом в точности совпадает с выражениями 
Прекрасные примеры влияния на изображение ограничений дифракционной картины, связанных с формой и размерами апертур, получены при использовании оптического дифрактометра; они приведены Тейлором и Липсоном 
(см. там же иллюстрации 43—46).
Эффект дефокусировки линзы легко определяется. Если плоскость наблюдения находится на расстоянии А от фокальной плоскости с распределением амплитуды 
то
Другими словами, амплитуда в плоскости, находящейся на расстоянии А от объекта, фокусируется в плоскости наблюдения, так что изображаемое распределение будет иметь вид
Распределение амплитуды в задней фокальной плоскости, которое дается фурье-преобразованием, составит
Таким образом, эффект дефокусировки эквивалентен добавлению фазового члена второго порядка к выражению для амплитуды в задней фокальной плоскости. Члены более высоких порядков в экспоненте возникают из-за аберраций линзы. Сферическая аберрация третьего порядка, например, приводит к добавлению члена, пропорционального 
