ГЛАВА 6. Дифракция на кристаллах
6.1. Идеальные кристаллы
Как хорошо известно, реальные кристаллы обладают различными дефектами и несовершенствами, включая точечные дефекты, примеси, дислокации, дефекты упаковки и 
тем не менее, как мы увидим в гл. 7, основные дифракционные эффекты зачастую можно рассматривать так, как если бы они возникали в идеально периодическом усредненном кристалле. Кинематическая дифракция на идеальных периодических кристаллах образует основу важного раздела анализа кристаллической структуры и, таким образом, заслуживает здесь особого внимания.
Идеальный кристалл строится путем повторения элементарной ячейки, содержащей один или больше атомов, в трех измерениях. В общем случае элементарная ячейка не прямоугольная. Ее определяют три вектора 
длины их 
с и углы между осями 
Тогда, обозначив содержимое элементарной ячейки как 
а функцию формы как 
имеем
или
где х, у, z - координаты по отношению к осям в направлении единичных векторов х, у, z, параллельных векторам a, b, c.
Это выражение представляет собой обобщение уравнения (2.56) и следует из (5.8). Для особого случая, когда 
с образуют прямые углы, мы видели [см. (5.9)] что фурье-преобразование дает обратную решетку, состоящую из точек, расположенных на расстояниях 
друг от дргй, т. е. обратная решетка определяется векторами 
такими, что 
Для более общего случая: когда оси не образуют прямы»
углов, нужно заново определить обратную решетку и положить
где V — объем элементарной ячейки, так что
Тогда фурье-преобразование выражения (6.1) дает
или
Для кристалла с размерами 
по направлению трех осей функция 
будет иметь такую же форму, как в уравнении (5.10). Другими словами, поскольку нас интересуют лишь значения 
в точках обратной решетки, мы можем написать
Таким образом, 
является структурным фактором или, что предпочтительнее, структурной амплитудой для точки 
обратной решетки и дается выражением
или
где интегрирование производится по всей элементарной ячейке, 
является вектором 
.
Часто используются другие условные обозначения, когда рассматриваются относительные координаты, которые мы обозначим
пока 
так что расстояния измеряются в параметрах элементарной ячейки:
Тогда (6.7) перепишется в виде 1
С помощью обратного преобразования (6.6) выведем другую форму уравнения (6.1)
или
Если принять, что электронная плотность в элементарной ячейке складывается из электронных плотностей для отдельных атомов, то можно записать
так что
где 
относительные координаты атома в точке 
амплитуда атомного рассеяния.
Распределение рассеивающей способности в обратном пространстве обладает резким пиком вида 
вблизи каждой точки обратной решетки, так что с достаточно хорошим приближением можно записать
Обратное преобразование этого выражения, согласно (6.12), дает
Таким образом, не считая постепенного спада из-за свертки функции формы, функция Паттерсона является периодической, как можно было предвидеть из рассмотрения уравнения (5.17), и состоит из повторяющихся самосверток содержимого элементарной ячейки.
Для удобства свертку функции формы и ее преобразование часто опускают. Тогда следует четко усвоить, что периодические функции в реальном пространстве и дельта-функции в обратном пространстве являются математическими абстракциями, которые в случае необходимости можно использовать для более точной (адекватной) записи уравнений (6.15) — (6.17).
