ГЛАВА 1. Дифракция Френеля и Фраунгофера

1.1. Введение

При построении обобщенной трактовки дифракции рентгеновских лучей, нейтронов и электронов, включая электронную микроскопию и другие методы получения изображений, основанные на явлении дифракции, мы сталкиваемся с задачей объединить многочисленные теории, созданные для более удобного решения частных задач. Часто оказывается, что подход, «популярный» среди экспериментаторов, совсем не является упрощенным вариантом более строгих методов, используемых теоретиками. Его основа может быть совсем другой, более привлекательной умозрительно, хотя и в меньшей степени поддающейся математической трактовке, или более наглядной, как, например, приближение геометрической оптики в теории изображения.

В данной книге мы хотели бы предоставить экспериментатору более последовательное изложение основных теоретических представлений в этой области, используя доводы, для понимания которых достаточно определенного математического минимума. Как теоретику, так и экспериментатору мы надеемся помочь понять, как данные физических наблюдений, в которых используются различные виды излучения и различные типы образцов, можно связать между собой единой нитью теории так, чтобы идеи и понятия, используемые в одной области, можно было связать с другими областями и перенести на них.

Для большинства исследователей, занимающихся рентгеноструктурным анализом кристаллов, дифракция — это обычная теория дифракции Фраунгофера, обобщенная для трех измерений применительно к идеальному случаю бесконечных периодических объектов со строго определенными направлениями дифрагированных пучков и с решеткой, состоящей из взвешенных точек в обратном пространстве. Основной математический инструмент — ряды Фурье. Для случаев конечных или несовершенных кристаллов в том же самом приближении одноволнового кинематического рассеяния используется фурье-преобразование, что, конечно, более сложно.

Такой подход далек от теоретической трактовки дифракции рентгеновских лучей Эвальда [126] или Лауэ [281] или даже от <юлее простого интуитивного подхода Дарвина [108]. И тем не менее именно на эти источники следует опираться, обсуждая допущения теории, простой для использования на практике. Эта же теория дифракции лежит в основе понимания и интерпретации таких важных новых методов, как рентгеновская топография и рентгеновская интерферометрия, и более старых методов, использующих линии Косселя, но упрощения этой теории, созданные для практического использования, развиты в различных направлениях.

Первоначальную теорию дифракции нейтронов создали физики-ядерщики, которые использовали свои профессиональные понятия дифференциальных сечений, а не амплитуды атомного рассеяния. Впоследствии варианты этой теории разработали структурщики, которые внесли в нее понятия, используемые в дифракции рентгеновских лучей, и специалисты по физике твердого тела, описывающие свои эксперименты с помощью волновых векторов к, зон Бриллюэна и т.д. Дополнительное усложнение, которое было связано с изучением неупругого рассеяния в процессах, зависящих от времени и включающих фононы и магноны, привело главным образом к развитию этого, заимствованного из физики твердого тела подхода, а не к обобщению методов фурье-преобразований.

Развитие теории дифракции электронов шло параллельно с развитием теории дифракции рентгеновских лучей. При этом там, где было возможно, использовалось приближение простой кинематической теории дифракции Фраунгофера, а динамическая теория Бете [22] (аналог теории Лауэ для рентгеновских лучей) использовалась лишь по мере необходимости. Отличие от дифракции рентгеновских лучей было связано как с большим вкладом эффектов динамического рассеяния, так и с большей сложностью самих динамических эффектов при дифракции электронов. Соответственно возникла потребность создать относительно простые приближения для практических целей; было разработано несколько таких вариантов для экспериментов различных типов.

Дополнительная трудность в случае дифракции электронов возникала в связи с тем, что факторы атомного рассеяния получали на основе теории рассеяния, т.е. теории, относящейся к ядерной и атомной физике, причем использовали и соответствующую терминологию. Следствием такого «происхождения» является то, что исследователи, работающие в газовой электронографии, рассматривают амплитуды атомного рассеяния (в А) как функцию переменной а не переменной (как это принято в дифракции рентгеновских лучей или электронов в твердом теле) или расстояния в обратной решетке

Теория образования изображения в электронном микроскопе естественно следует в своем развитии за теорией обычной

микроскопии, но при этом она должна сочетаться с теорией рассеяния или дифракции электронов в объекте. Указанные два аспекта электронной микроскопии естественно объединяются концепцией фурье-преобразования, имеющей первостепенное значение в дифракции электронов и рентгеновских лучей в простом кинематическом приближении и послужившей осноеой для последних достижений теории изображения, впервые предложенной Дюфье [120].

Тогда то, что основные динамические теории дифракции рентгеновских лучей и электронов развиты в терминах дифференциальных уравнений, а не интегралов, таких, как фурье-преобразование предполагает дальнейшее развитие необходимой теории в двух направлениях, связанных лишь формально, а на практике сильно различающихся. Однако по крайней мере для дифракции электронов это препятствие удалось преодолеть благодаря развитию динамических теорий дифракции в интегральной форме, где существенную роль играет фурье-преобразование. Следующий важный компонент теории можно найти в трактовке дифракции Френеля, как она дается в элементарных курсах физики.

Учитывая это, начнем наше рассмотрение дифракции с того, что напомним читателю элементы физической оптики и таким образом введем описание дифракции, рассеяния и получения изображения, используя интеграл фурье-преобразования и важный связанный с ним интеграл-свертку.

Возможно, многим исследователям, занятым практической электронной микроскопией и дифракцией, пришлось бы довольно трудно, если бы мы попытались представить полное рассмотрение дифракции по такой схеме. Поэтому в тех случаях, когда это приемлемо, мы будем переводить нашу трактовку на более привычную почву методов дифференциальных уравнений. Однако мы хотели бы заметить, что рассмотрение в подобных случаях следует считать лишь параллелью основному развитию теории, проведенной либо для удобства, либо в связи с принятыми обозначениями.

Чтобы облегчить понимание, мы избегали чересчур строгой аргументации или сложных выкладок до такой степени, что пурист, разумеется, найдет что критиковать в логике изложения. Во многих случаях математические утверждения мы сопроводили словест ными формулировками, которые часто менее точны, но могут помочь математически более слабо подготовленному читателю.

Будем считать для начала, что читатель знаком с использованием комплексной экспоненты для представления волновой функции, с использованием рядов Фурье для разложения периодической

функции, а также с элементами интегрирования и дифференцирования. Тем, кто не знаком с этими понятиями, мы рекомендуем обратиться К одному из многочисленных учебников по физической оптике, такому, Как учебник Дичберна [114] или Стоуна [363]. Превосходное изложение этих вопросов на несколько более высоком уровне дают С. Липсон и Г. Липсон [292].