8.4. Двухволновое приближение

8.4.1. Блоховские волны и дисперсионные поверхности

Поскольку для наиболее важных случаев дифракции рентгеновских лучей и нейтронов и для отдельных случаев дифракции электронов максимальное число сильных дифрагированных пучков равно двум, можно принять полезное приближение, согласно которому отличны от нуля только две волновые амплитуды, и Можно подчеркнуть, что это не есть приближение к общему решению в обычном смысле. Это решение другой и более простой задачи: допущения о наличии некой области, в которой могут существовать только две волны. Тогда матричное уравнение (8.7) сразу упрощается:

Для нетривального решения определитель матрицы должен быть равен нулю, давая в общем четыре решения для волновых векторов. Однако два из этих решений соответствуют электронам, рассеянным назад, и в случае дифракции пучка частиц высокой энергии в экспериментах на прохождение их обычно можно не рассматривать.

Для рассеяния вперед будут существовать два решения с двумя волнами Блоха Для существуют волновые амплитуды и волновые векторы аналогично для Дисперсионная поверхность будет иметь две ветви, которые приближаются к сферам вокруг точек обратной решетки и за исключением области вблизи линии их пересечения. Все это изображено на фиг. 8.3, где мы пронумеровали ветви дисперсионной поверхности в порядке уменьшения [221]. Показанное на фигуре сечение дисперсионной поверхности симметрично относительно перпендикуляра, восстановленного из середины вектора Сферы с центрами в и пересекаются в точке которая в случае трех измерений имеет вид кольца. Введение граничных условий на входной поверхности определяет нормаль, проходящую через точку которая пересекает дисперсионную поверхность в точках связи

Если вектор параллелен поверхности кристалла и угол падения установлен так, что совпадает с то мы имеем

Фиг. 8.3. Построение дисперсионной поверхности для двухволнового случая.

простейший симметричный случай, когда падающий и дифрагированный лучи имеют одинаковые углы с поверхностью, ошибка возбуждения равна нулю, условие Брэгга для отражения точно выполняется и

Тогда условие, при котором определитель матрицы в (8.10) должен быть равен нулю, в отсутствие поглощения дает

или, поскольку отличаются на относительно малую величину,

Аккомодация (8.9) принимает вид

Таким образом, минимальное расстояние, разделяющее два листа дисперсионной поверхности, пропорционально

В таком симметричном случае будут получены два одинаковых решения в виде блоховской волны, соответствующие двум ветвям дисперсионной поверхности. Однако с увеличением отклонения от условия Брэгга видно, что для одной из блоховских волн вектор к становится более близким к х волновому вектору падающей волны без дифракции, в то время как для другой волны к все больше и больше отклоняется от Следует ожидать, что значение к, наименее отличающееся от х, будет особенно предпочтительным, когда сила дифракционного

фекта уменьшается. Как следует из фиг. 8.3, если точка на схеме движется слева направо, дифракционное условие для рефлекса меняется, так что большая амплитуда будет сначала у блоховской волны 1, а затем у блоховской волны 2.

В этих рассуждениях и на фиг. 8.3 мы учитывали только одно из двух пересечений нормали к поверхности с дисперсионной поверхностью. Но существует пересечение, диаметрально противоположное показанному. Во многих задачах оно не рассматривается. Для изображенного пересечения падающий луч в кристалле направлен приблизительно так же, как и падающий луч в вакууме, и дифрагированные лучи идут только вперед. Другое пересечение может, однако, стать важным, когда рассматривается излучение с очень большой длиной волны или когда нормаль к поверхности, показанная на фиг. 8.3, повернута на 90°, поскольку теперь она становится почти касательной к дисперсионной поверхности, как и в так называемом случае Брэгга — дифракции на плоскостях, почти параллельных поверхности.