1.7.3. Периодические объекты — «фурье-изображения»

Функций для которых интеграл в выражении (1.26) можно оценить аналитически, совсем немного, но они включают важный случай периодических функций, который мы рассмотрим здесь более подробно, поскольку он весьма интересен при рассмотрении формирования электронно-микроскопического изображения кристаллов.

Рассмотрим плоский объект с функцией прохождения На практике создать такой объект было бы трудно, но не невозможно, поскольку требуемый знак минус можно было бы получить, если использовать «полуволновую» пластинку, которая изменяет фазу падающего излучения на Тогда интеграл в (1.26) примет вид

или, при подстановке

Соответствующий член, содержащий синус, является интегралом от нечетной функции и потому равен нулю. Используя табличный интеграл

получаем

так что распределение интенсивности в плоскости наблюдения

Полученная формула не зависит от Следовательно, на любой плоскости наблюдения и на любом расстоянии от объекта распределение интенсивности будет в точности таким же, как на выходной поверхности объекта. Если получать изображение такого объекта, освещая его плоскопараллельным пучком света, то такое изображение никогда не может оказаться несфокусированным.

Для обычного периодического объекта (для простоты ограничимся случаем функций, симметричных относительно центра) запишем

Теперь можно использовать результат, полученный в (1.29), для каждого члена, содержащего косинус, что дает

Это выражение опять-таки является периодическим распределением, причем с той же периодичностью, что и у объекта, но с относительными фазами фурье-коэффициентов, меняющимися в зависимости от расстояния

Для особых значений которые даются выражением экспонента в (1.31 )равна , где есть целое число. Тогда

и распределение интенсивности получается в точности таким же, как на выходной поверхности объекта.

Для значений при нечетном экспонента будет равна так что, поскольку нечетно, если нечетно, имеем

Таким образом, снова получаем в точности такое же распределение интенсивности, как для но смещенное на полпериода.

В случае плоскопараллельного пучка падающего света распределение интенсивности в точности повторяется через интервалы Об этом явлении впервые сообщил Тальбот [368] в 1836 г., а в 1881 г. Рэлей [345] дал его частичное объяснение. Дальнейшее изучение провели Вейзель [393] и Вольфке [397]. Позже это явление вновь «открыли» и подробно изучили Каули и Муди [72-74 , 81] в связи с его возможным использованием в дифракции электронов и электронной микроскопии; они назвали эти самоизображения периодического объекта фурье-изображениями. Несколько различных аспектов этого явления позже будет рассмотрено в этой книге. Здесь отметим только случай, когда падающее излучение получается от точечного источника, находящегося на конечном расстоянии от периодического объекта, скажем на расстоянии Тогда вместо (1.26) следует написать

В этом выражении первая экспоненциальная функция представляет собой сферическую волну, исходящую от точечного источника и падающую на объект, который характеризуется функцией прохождения

Легко показать, что фурье-изображения будут увеличены в раз и будут наблюдаться на расстояниях определяемых соотношением

Действительные фурье-изображения получаются на последовав тельно увеличивающихся интервалах вдоль вплоть до максимального положительного Значения за которым величина меньше Затем «возникают» мнимые фурье-изображения

объекта, со стороны источника, которые соответствуют отрицательным значениям и значениям от плюс бесконечности до того значения для которого как показано на фиг. 1.3.

Фиг. 1.3. Положения фурье-изображений периодического объекта, освещенного точечным источником.