ГЛАВА 3. Образование изображения и дифракция

3.1. Волновая теория образования изображения

3.1.1. Когерентная волновая оптика

Хотя, как увидим в дальнейшем, линзы можно использовать для получения и дифракционных картин, и изображений, основное внимание при развитии теории линз было направлено на образование изображений. Мы ознакомимся кратко с развитием этой теории, однако отдадим предпочтение методу, который позволяет одинаково легко рассматривать как дифракционные картины, так и изображения и подчеркивает соотношения между ними. Этот метод имеет важное практическое значение, особенно в электронной микроскопии.

Образование изображения в течение многих лет рассматривалось в рамках приближений и с точки зрения геометрической оптики. Волновая природа света принималась во внимание только для уточнения в случаях, когда на разрешение влияли дифракционные эффекты, связанные с конечным размером апертуры. На волновой основе теорию получения изображения полностью сформулировал Дюфье [120], а затем ее последовательно развивали многие авторы, в том числе Гопкинс [205, 206 ], Феллгетт и Линфут [133] и Линфут [289]. Общие черты развития теории на волновой основе описаны Борном и Вольфом [37]. Такой подход целиком основан на фурье-преобразовании. Мы рассмотрим прежде всего графический аспект этой теории, а затем остановимся на ее более формальном и последовательном виде.

Рассмотрим сначала систему, представленную на фиг. 3.1. Падающее излучение, проходя через малый объект или малую часть объекта, дает распределение амплитуды, которое в пределах ограниченной области в одном измерении дается функцией Тогда благодаря дифракции Фраунгофера возникает распределение на некоторой сферической поверхности преломления при входе в систему линз. Координата и, измеренная вдоль этой сферической поверхности, равна где угол рассеяния, или где расстояние, измеряемое на сфере.

Функция линзы состоит в том, чтобы преобразовать распределение в распределение на некоторой сферической

Фиг. 3.1. Схема, показывающая процесс получения изображения в оптической системе. Распределение комплексной амплитуды на опорной сферической поверхности в пространстве предметов свертывается в распределение амплитуды на опорной сферической поверхности в пространстве изображений.

поверхности преломления, центр которой находится на участке изображения соответствующем Следуя общепринятым обозначениям, величины, относящиеся к пространству изображения, будем помечать штрихом. Если бы переход от был идеальным, так что функция ограничения апертурой не вносила бы возмущения, было бы справедливо равенство Из геометрии картины следует

так что в этом случае

Распределением будет Учитывая симметрию, положим Переход от казалось бы, можно считать обратным преобразованием, но поскольку направление распространения от противоположно аналогичному направлению в пространстве предмета, знак в экспоненте меняется, т.е. знак в экспоненциале преобразования от положительный, а значит, это прямое преобразование Фурье.

Следовательно,

т.е. изображение является воспроизведением функции обращенной и умноженной на

Конечно, на практике переход от оказывается неидеальным. Всегда существует ограничение, накладываемое конечным размером апертуры. Кроме того, аберрации линзы приводят

к изменениям фазы, которая меняется как функция и. В классическом виде это изменение фазы описывается степенным рядом по и или в двух измерениях степенным рядом по [пропорциональному ] и по полярному углу Таким путем получают обычные коэффициенты аберрации, причем для нас наиболее важен коэффициент сферической аберрации третьего порядка, который получается из коэффициента при члене

В волновой теории изменения амплитуды и фазы, возникающие из-за ограничений, связанных с линзой, представляют функцией оптического переноса характерной для данной линзы. Тогда

Изменение изображения соответственно представляют функцией

В простейшем случае для двух измерений при ограничениях, накладываемых круглой апертурой, получаем, как в (2.44),

так что

а распределение интенсивности изображения

что указывает на ухудшение разрешения из-за размытия максимумов распределения амплитуды.

Когда в дополнение к ограничениям, накладываемым апертурой, заметное влияние оказывают аберрации линзы, в функцию оптического переноса включают член, связанный с изменением фазы, так что выражение (3.3) можно записать в виде

где функция апертуры, а представляет собой изменение фазы, которое можно разложить в степенной ряд по чтобы ввести в рассмотрение коэффициенты аберраций. Тогда наблюдаемая интенсивность дается выражением

Здесь эффект, вносимый сверткой, становится очевидным не сразу.

Его можно подробно рассчитать для частных случаев, но составить себе наглядное представление о нем трудно. Влияние свертки мы обсудим позже с точки зрения теории Аббе.