18.2. Дефекты упаковки — статистическая кинематическая теория

18.2.1. Метод Паттерсона для простого случая

Существуют много веществ, идеальная кристаллическая структура которых отвечает правильному наложению идентичных слоев толщиной в одну элементарную ячейку. В реальной структуре правильное наложение может нарушаться из-за смещения одного слоя, а значит, и всех последующих слоев относительно предыдущих. Если такие дефекты не слишком многочисленны, то в первом приближении можно допустить, что они встречаются случайно. Мы предполагаем, что существует некая вероятность а того, что в упаковке встретится дефект, при котором смещение определяется вектором

Если вектор непараллелен плоскости слоев, то в общем случае будет иметь место вычитание или добавление атомов к смещенному слою, чтобы плотность материала осталась приблизительно той же. Но пока мы отложим рассмотрение этого вопроса.

Поскольку структуру можно описать с помощью распределения электронной плотности

где электронная плотность одного слоя, некоторая функция распределения, то обобщенную функцию Паттерсона можно записать, как в (7.12), в виде

где функция распределения Паттерсона, описывающая вероятность того, что если один слой имеет центр в начале координат, то другой слой будет иметь центр в точке После слоев вероятность встретить дефектов дается функцией распределения Пуассона в следующем виде:

Векторы между началами двух слоев, разделенных нормальными трансляциями плюс дефектов (смещений), будут Тогда обобщенная функция Паттерсона запишется как

Преобразование Фурье дает распределение интенсивности

Суммирование по дает а суммирование по производится с использованием соотношения так что

Если мало, то сразу можно увидеть, что эта функция обладает очень резкими максимумами, которые смещены из точек обратной решетки для бездефектного кристалла, если непараллелен слоям. Положение максимумов дается выражением

Эти максимумы имеют высоту и полуширину

В качестве примера можно привести фторогерманат магния [24], структуру которого можно представить состоящей из четырех слоев атомов металла на элементарную ячейку во фторкислородной плотной упаковке. Слои перпендикулярны оси с. Присутствие фтора связано с дефектами упаковки, когда один из четырех слоев отсутствует. Компонента вектора в направлении оси сбудет Тогда о пятнах можно сказать следующее: пятно

Фиг. 18.1. (см. скан) Электронограмма от кристалла фторогерманата магния, показывающая вытягивание пятен вдоль направления с, связанное с плоскими дефектами в кристалле. (Любезно предоставлена Кунцманом.)

001 смещено на величину от начала и имеет полуширину пятно 002 не смещено, но имеет полуширину пятно 003 смещено на по направлению к началу и имеет ширину пятно 004 резкое и несмещенное. Это тот случай, который представлен на фиг. 18.1 электронограммой, из которой можно получить, что

Во всех подобных случаях, когда вектор непараллелен слоям, наличие дефекта упаковки предполагает добавление или вычитание части слоя, что можно представить функцией которая относится к тому же самому началу, что и Тогда можно записать

где функция распределения для плоскостей дефектов, и

Хотя дефекты упаковки распределены случайным образом, статистика векторов от плоскостей с дефектами и от плоскостей без дефектов различна, так что В еще не опубликованной работе Каули показано, что вклад в максимумы диффузного рассеяния обычно настолько незначителен, что величинами часто можно пренебречь. Таким образом, меняется лишь эффективная структурная амплитуда для данного слоя.

Если распределение дефектов упаковки не полностью случайное, то в первом приближении систему можно представить как сумму двух распределений, таких, что вероятность существования дефектов в слоях будет

где Если положительные значения соответствуют случаю, когда дефекты предпочитают группироваться вместе, а отрицательные значения случаю, когда имеется тенденция отталкивания дефектов. Выражение для интенсивности составляет сумму двух членов в квадратных скобках выражения (18.3).

18.2.2. Общее рассмотрение

Такую же формулировку можно использовать для более общего случая, когда есть много различных типов слоев и когда дефекты упаковки могут встречаться с характерными вероятностями, чтобы слой одного типа замещался другим неэквивалентным слоем. Допустим, что часть слоев имеет электронную плотность и межслоевое расстояние по нормали к слоям Дефект упаковки, который обратит последовательность слоев типа в последовательность слоев типа будет обнаруживаться с вероятностью а даст вектор смещения Значение дается формулой

Функцию Паттерсона в данном случае можно записать с помощью компонент от пары слоев, находящихся друг от друга на расстояниях слоев. Тогда нулевой член в точности представляет собой сумму функций Паттерсона для всех отдельных слоев

Для ближайших соседних слоев существуют вероятности наличия дефектов и вероятности их отсутствия, так что

Для вторых ближайших соседей допустим возможность дефектов на обеих межслоевых границах, так что

Таким образом, можно записать выражение для всех С ростом такие выражения быстро становятся очень сложными, но мы можем заметить, что максимальное нужное значение определяется тонкостью деталей, необходимых для определения функции плотности

Для всех случаев, за исключением наиболее общих, члены или их преобразования образуют ряды, которые можно просуммировать. Например, если все слои имеют одинаковые периоды и, таким образом, одинаковые векторы повторяемости можно записать

где индексы заменили цифрами и подставили В этом выражении в фигурных скобках содержатся полные однородные симметричные полиномы порядка от переменных Такие полиномы встречались в -волновой динамической теории в гл. 11 и могут быть просуммированы:

При отрицательном подставляем в (18.12) и меняем знак в выражении (18.11).

Для весьма специального случая, когда все а равны, члены в фигурных скобках выражения (18.11) упрощаются до См и дают

Суммирование по от до и использование соотношения

дают

Легко видеть, что этот результат и выражение (18.3) для малых значений а совпадают.