1.2.3. Волны-частицы

Для электронов или других частиц соответствующее волновое уравнение является уравнением Шредингера, которое можно записать следующим образом:

где волновая функция, так что представляет вероятность того, что какой-либо электрон будет находиться в единице объема, а электростатический потенциал. Можно предположить, что в нашем случае эта последняя функция будет изменяться достаточно медленно, даже если изменение это вызвано распределением положительных и отрицательных зарядов в атомах и ионах вещества. Если, как и ранее, мы будем принимать во внимание только единственную частоту и положим где - кинетическая энергия для т.е. энергия в пространстве, свободном от поля, то не зависящее от времени волновое уравнение будет представлено как

где член в скобках, умноженный на дает сумму кинетической к потенциальной энергий электрона.

Это выражение имеет точно такой же вид, как и (1.3), если

Соответственно показатель преломления для электронов, обладающих кинетической энергией (или энергией падающей волны) в потенциальном поле имеет вид

По соглашению знак выбирается так, чтобы было положительным для электрона в положительном поле, ускоряющем его. Следовательно, показатель преломления вещества для электронов будет слегка больше единицы.

Простое нетривиальное решение волновых уравнений (1.3) или (1.5), которое можно проверить подстановкой, таково:

оно представляет собой плоскую волну, распространяющуюся в направлении, определяемом вектором к, величина которого

Если добавить зависимость от времени, то это решение запишется как

Положительный знак в показателе взят произвольно. Знак минус перед тоже справедлив. То есть выбор того, где будет минус: перед или перед к зависит от соглашения. Важно лишь следовать своему выбору в дальнейшем. Форма уравнения (1.8) предполагает, что для постоянного фаза уменьшается с возрастанием положительного расстояния (в направлении к), а для фиксированного положения фаза увеличивается со временем.

Еще одно важное решение соответствует сферической волне, излучаемой точечным источником, который помещен в начале координат; оно имеет вид

где Поскольку сферическая волна всегда распространяется радиально, Выражение (1.9) отвечает закону обратной пропорциональности квадрату расстояния, поскольку энергия на единицу площади, пропорциональная будет изменяться как