2.2.2. Свойства фурье-преобразований
Если не использовать комплексную экспоненту, то выражение (2.12) можно переписать следующим образом:
Если функция 
действительная четная функция, так что 
второй интеграл дает нуль, и имеем
действительная функция. Если же 
действительная нечетная функция, т.е. 
тогда первый интеграл будет давать нуль, и получаем
Функция 
будет чисто мнимой.
Поскольку любую действительную функцию можно представить как сумму четной и нечетной функций:
то можно записать
где 
действительные функции, которые задаются выражениями
Именно эти интегралы, содержащие синусы и косинусы, протабулированы в значительной мере в таблицах интегралов Фурье, приведенных, например, в справочниках Эрдейли 1124) и Снеддона [360].
Для любой, действительной или комплексной, функции 
запишем следующие общие соотношения:
Эти соотношения легко доказать, записав соответствующие интегралы. Например, для выражения (2.24)
Для 
Для 
поскольку
Соотношение (2.28) получается повторением вывода (2.27).
