2.2. Фурье-преобразования: общее рассмотрение

2.2.1. Определения

Фурье-преобразование одномерной функции определяется как

Обратное преобразование определяется так, что

Здесь, как обычно, в экспоненту включен множитель Эта форма обычно используется при описании дифракции; она удобна, поскольку позволяет избежать включения постоянного множителя в выражение (2.12) или (2.13). При других условиях, которые часто используются в физике твердого тела, множитель экспоненты опускают. В таких случаях его следует включить в рассмотрение в виде константы; интеграл в любом из выражений (2.12) или (2.13) умножается на или же оба интеграла умножаются на

Для случая двух и более измерений можно использовать векторную форму выражения (2.12)

Вектор и июжно рассматривать как вектор в пространстве Фурье. Для трехмерного случая, например, можно считать, что вектор имеет координаты х, у, z, а вектор и — координаты

Далее, скалярное произведение векторов имеет вид и и тогда

В гл. 1 мы уже видели, что амплитуда рассеяния от объекта в приближении дифракции Фраунгофера, полученная из формулы Кирхгофа или выведенная на основании теории рассеяния, описывается интегралом фурье-преобразования. Например, чтобы получить двумерную форму уравнения (2.156), в формуле (1.37) следует подставить Таким образом, можно описать амплитуду, получающуюся при дифракции, с помощью распределения в пространстве Фурье, которое, как мы увидим дальше, часто называют обратным пространством. Поскольку в дальнейшем такое описание амплитуды будет использоваться чаще всего для вывода соотношений, относящихся к дифракционным эффектам, и для их объяснения, то перейдем теперь к рассмотрению наиболее важных свойств и поведения фурье-преобразования.