11.2. Ряды многократного рассеяния

11.2.1. Рассеяние нулевого порядка

Если мы теперь возьмем предельный случай, когда то число сумм в становится бесконечным. В дальнейшем изложении мы должны систематизировать выбор членов рядов. Один из методов выбора вытекает из того, что для каждого ряда этих сумм по нулевой член гораздо больше остальных, поскольку, согласно (11.17) и (11.18),

Следовательно, наибольший вклад в (11.28) будут давать члены с индексами взятыми из каждого ряда суммирования. Для получения следующего по величине члена следует взять нулевые члены из всех сумм, за исключением одной. Эти вклады дадут однократно рассеянное излучение. Беря последовательно два, три и более слоев, дающих ненулевые отражения, мы получим члены, представляющие дважды, трижды и многократно рассеянные пучки, и получим, таким образом, эквивалент рядов Борна. Член нулевого порядка в этих рядах следующий:

Он отвечает прохождению падающего пучка с изменением фазы, обусловленным действием среднего внутреннего потенциала и ослаблением за счет включения среднего коэффициента поглощения.

11.2.2. Однократное рассеяние: кинематическое приближение

Член первого порядка учитывает только однократное рассеяние. Допустим, что падающий пучок проходит без рассеяния через все слои до Тогда при подстановке всех число сумм в (11.28) уменьшится, останутся суммы с Учтем также, что согласно (11.26),

Суммируя затем по всем значениям в (11.28), получаем

В пределе, когда суммирование по заменяется интегрированием по от до при этом получим

В предположении, что ошибка возбуждения велика для всех и что являются действительными, интенсивность однократно рассеянного дифракционного пучка равна

а это есть точное выражение для кинематического рассеяния от плоскопараллельной кристаллической пластинки толщиной

11.2.3. Многократное рассеяние

Почти таким же способом можно найти вклад в амплитуду, когда рассеяние не обязательно для центрального пучка может произойти на двух, трех и большем числе слоев. Например, член трехкратного рассеяния находится в предположении, что все

кроме Тогда

Член в последней экспоненте в (11.28) примет форму

В предельном случае выражение для амплитуды интегрируется по от до по от до и по от до что после некоторой перестановки членов дает

Обобщая результат для -кратного рассеяния, получаем

Для результирующей амплитуды дифрагированного пучка получим

что является выражением типа рядов Борна для однократного, двукратного и многократного рассеяния на плоскостях в кристалле. Использовав другие методы, Фудзимото [145] и Фудзивара [149] получили тот же результат, но в несколько более общей форме, в которой -компоненты волновых векторов для отдельных отражений включены в знаменатели, чтобы учесть небольшие отличия в направлении соответствующих волн.

Как и в случае более общепринятых рядов Борна, для рассеяния на элементарных объемах сходимость этого метода медленная, когда рассеивающая способность или толщина кристалла слишком велики, чтобы можно было использовать кинематическое приближение однократного рассеяния. Поэтому мы ищем другие формы, более подходящие для ситуаций, в которых кинематическое приближение неприемлемо.