3.2. Теория Аббе

Для наших целей формальное использование фурье-преобразований в теории формирования изображения в той форме, которая рассматривалась выше, представляет лишь ограниченный интерес, поскольку нам важно знать конкретное выражение фурье-преобразования как в виде дифракционной картины, так и в виде изображения. Следовательно, нужно обратиться к теории получения изображения, вытекающей из идей Аббе. Хотя это существенно волновая теория, все же ее весьма удобно проиллюстрировать геометрической картиной (фиг. 3.2).

Плоская световая волна падает на объект с функцией прохождения изображение этого объекта получается с помощью линзы с фокусным расстоянием Свет, рассеянный точкой А объекта, фокусируется в точке А плоскости изображения. Из геометрии картины следует, что изображение перевернуто и увеличено в раз, так что оно описывается следующей функцией:

Кроме того, можно заметить, что весь рассеянный в пределах угла свет собирается в фокус в одной точке задней фокальной плоскости. Это эквивалентно интерференции в бесконечно удаленной точке. Следовательно, распределение амплитуды на задней фокальной плоскости соответствует дифракционной картине Фраунгофера, которая дается функцией фурье-преобразования В этом случае и если не слишком велико, то можно написать Таким образом, процесс получения изображения можно описать с помощью двух фурье-преобразований: излучение, рассеянное объектом, интерферирует на задней фокальной плоскости и дает дифракционную картину Фраунгофера, которая

Фиг. 3.2. Схема, показывающая применимость описания процесса получения изображения в волновой оптике к теории Аббе.

описывается фурье-преобразованием; затем излучение от задней фокальной плоскости снова образует интерференционную картину на плоскости изображения, фокус которого расположен в бесконечности так что распределение амплитуды в изображении дается фурье-преобразованием распределения амплитуды в задней фокальной плоскости линзы.

Отсюда непосредственно вытекают два важных следствия. Первое состоит в том, что для получения дифракционной картины Фраунгофера от объекта можно использовать световые или электронные линзы, расположенные в соответствующих местах и в соответствующем масштабе в зависимости от их фокусных расстояний. Второе следствие состоит в том, что ограничения, накладываемые системой линз при воспроизведении функции прохождения объекта на плоскости изображения, можно описать с помощью модификации распределения амплитуды и фазы на задней фокальной плоскости.

Эти результаты, кроме непосредственного интереса применительно к образованию оптического и электронно-оптического изображений и дифракционных картин, представляют интерес и для дифракции рентгеновских лучей. В самом деле, Тейлор и Липсон [371] графически использовали оптический дифраометр для моделирования рентгеновской дифракционной картины и структуры кристалла по амплитудам рассеяния.