7.4. Несовершенные кристаллы в отсутствие усредненной решетки

7.4.1. Непостоянный интервал между плоскостями решетки

Одним из немногих случаев, для которых можно просто определить непериодическую структуру и получить простое аналитическое решение дифракционной задачи, является случай идентичных параллельных атомных плоскостей (или слоев, составленных несколькими плоскими массивами атомов), уложенных таким образом, что расстояние между ними неодинаково. Нечто подобное наблюдается экспериментально; эта модель может считаться правдоподобной для некоторых кристаллов глинистых минералов, например для кристаллов, в которых двумерные бесконечные слои, состоящие из плотно упакованных пакетов атомов кислорода и металлических атомов в октаэдрических или тетраэдрических положениях, связаны между собой слабым взаимодействием. В такой структуре изменение числа либо природы ионов или молекул, лежащих в промежутках между этими пакетами, может изменить расстояние между самими пакетами, не меняя их относительной ориентации.

Согласно (7.11), эту структуру можно описать с помощью распределения электронной плотности отдельных пакетов и одномерной функции распределения причем набор дельта-функций дает положения соответствующих эквивалентных точек отсчета в пределах пакетов:

Если можно предположить, что известно, то задача сводится к определению или и к выводу для использования в формуле (7.13).

При этом считается, что функция обладает периодичностями в направлениях х и у, но она непериодична и имеет ограниченную протяженность (5—15 А) в направлении Тогда будет состоять из набора бесконечных прямых, параллельных оси обратного пространства с постоянными интервалами в направлениях Изменение рассеивающей способности вдоль этих направлений будет зависеть от относительных, положений атомов внутри пакетов.

Чтобы найти модель для предположим, что расстояние между двумя произвольными пакетами не влияет на расстояние между любыми другими пакетами. Далее предположим, что все расстояния между соседними пакетами дают гауссово распределение вблизи некоторого среднего значения с. Тогда одномерная функция корреляции имеет форму, показанную на фиг. 7.5.

Фиг. 7.5. Функция распределения Паттерсона и ее фурье-преобразование для случая параллельных атомных плоскостей со случайным образом изменяющимися межплоскостными расстояниями.

Для имеем дельта-функцию веса соответствующую нулевому расстоянию от каждой точки отсчета до самой себя. Вблизи с находится гауссов пике полушириной 7, соответствующий распределению расстояний до ближайших соседей. Вблизи будет более широкий гауссов пик, поскольку для каждого положения пакета, который является ближайшим соседом данного, имеется гауссово распределение расстояний до следующего или второго ближайшего соседнего пакета.

Тогда второй ближайший соседний пакет имеет распределение положений по отношению к начальному положению вида

Подобным же образом для ближайшего соседнего пакета по отношению к данному размытие положений будет даваться -кратной сверткой распределения расстояний до ближайшего соседа. Тогда функция Паттерсона от может быть записана так:

Отметим необходимость подстановки для того, чтобы распределение было симметричным. Фурье-преобразование выражения (7.26) дает

где знак минус относится к положительным значениям

Используя соотношение получаем

Фиг. 7.5 дает форму этой функции. В точке имеем дельтафункцию, а в точках -максимумы для целочисленных . Высоты максимумов даются выражением

Между максимумами при минимумы имеют значения, которые сначала возрастают с Ширина максимумов возрастает приблизительно как

Общее распределение рассеивающей способности получается умножением этой функции на значения Следовательно, оно содержит набор прямых, расположенных на равных расстояниях друг от друга и параллельных направлению имеет резко ограниченные узлы на плоскости и все более диффузные максимумы по мере возрастания расстояния от этой плоскости.

Такой результат показывает, чего можно ожидать для более сложных случаев, для которых нарушение постоянства межплоскостных расстояний наблюдается для большего чрсла измерений. Двумерным эквивалентом будет случай длинных стержнеобразных молекул, упакованных с почти совершенным упорядочением в направлении стержней, причем эквивалентные атомы всех стержней располагаются в одной плоскости, но с различными расстояниями между самими стержнями, что получается из-за случайных изменений боковых групп атомов, связанных с молекулами. Пример в трех измерениях можно получить при упаковке больших молекул в решетку, которая является неправильной, так как присутствие неупорядоченных боковых групп или поглощенных атомов приводит к изменению расстояний между молекулами во всех направлениях. В каждом случае максимумы рассеивающей

Фиг. 7.6. (см. скан) а — функция Паттерсона и б - соответствующее распределение в обратном пространстве для турбостратной структуры, состоящей из параллельных, расположенных на равных расстояниях атомных плоскостей, имеющих произвольные относительные ориентации осей в пределах плоскости, в — вид порошкограммы от такой структуры, которая состоит из резких колец, соответствующих рефлексам и широких несимметричных пиков, соответствующих рефлексам с интенсивностью, которая является непрерывной функцией переменной I, но при целочисленных значениях

способности в обратном пространстве все более уширяются в направлениях нерегулярностей в реальном пространстве.