10.2. Обобщение теории Бете на случай прохождения

10.2.1. Матричная формулировка

Взяв за исходный пункт уравнение Шредингера для электрона в периодическом потенциале [см. (8.1)], мы вывели общее матричное уравнение (8.7), которое связывает амплитуды и волновые векторы волнового поля, устанавливающегося при вхождении падающего пучка в кристалл.

Если мы включим в рассмотрение точек обратной решетки, то будет решений, которые даются тем условием, что определитель матрицы равен нулю. Трудность создают члены второго порядка на диагонали матрицы В общем можно показать, что решений получаются при использовании матрицы имеющей члены только первого порядка, в уравнении вида

где представляют собой матрицы являются при этом единичной и нулевой матрицами [61, 311].

2N собственных значений соответствуют волнам, проходящим в прямом и обратном направлениях по отношению к падающему пучку. Если, как и в случае рассеяния электронов с высокой энергией, мы можем принять, что обратное рассеяние пренебрежимо мало, решений можно будет отбросить. Если взять только одно значение которог соответствует волне, почти параллельной падающему пучку, и использовать малоугловое приближение, то данная задача упростится, поскольку диагональные члены сведутся к первому порядку.

Косинусы углов дифракции берутся равными единице. Так как, вообще говоря, коэффициенты Фурье потенциала кристалла гораздо меньше, чем ускоряющий потенциал падающего пучка,

величины аккомодации будут значительно меньше Следовательно, пренебрегая членами второго порядка в мы можем написать, согласно (8.9),

и

где мы положили

поэтому разные значения х соответствуют значениям для разных блоховских волн, в то время как значения для зависят от ошибок возбуждения для разных точек обратной решетки и одинаковы для всех блоховских волн.

Матричное уравнение (8.7) можно переписать в упрощенной линейной форме

где

Собственные значения дают величины для разных блоховских волн. Собственные векторы имеют компоненты которые являются амплитудами отдельных плоских волн, составляющих блоховские волны.

В отсутствие поглощения матрица эрмитова. Для центросимметричной структуры она действительная и симметричная.